Bevis for deriverte av e^x

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Re: Bevis for deriverte av e^x

Innlegg Markus » 10/06-2017 23:51

plutarco skrev:
mattemarkus skrev:
plutarco skrev:PS: Leddvis derivasjon av taylorrekka er lov fordi taylorrekker konvergerer uniformt på kompakte delmengder.

Denne forsto jeg ikke så mye av. Hva vil det si å konvergere uniformt på kompakte delmengder?


Det er noen tekniske forutsetninger for at man kan bytte om rekkefølgen på grenseverdier, som må være oppfylt for at de bevisene over er riktige. Det fins eksempler på at for visse følger $a_{n,m}$ så er $\lim_{n\to\infty} \lim_{m\to \infty} a_{n,m}\neq \lim_{m\to\infty} \lim_{n\to \infty} a_{n,m}$.

F.eks. hvis $a_{n,m}=\frac{n}{n+m}$, så er $\lim_{n\to\infty} \lim_{m\to \infty} \frac{n}{n+m}=0$, mens $\lim_{m\to\infty} \lim_{n\to \infty} \frac{n}{n+m}=1$.

Vi får en lignende situasjon når vi skal ta grenseverdien

$\lim_{\Delta x\to 0} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\Delta x)^n}{(n+1)!}$.

Fordi dette betyr egentlig

$\lim_{\Delta x\to 0} \lim_{m\to \infty }\sum_{n=0}^{m} \frac{(\Delta x)^n}{(n+1)!}$

Det går an å vise at vi her har lov til å bytte om rekkefølgen, slik at vi får

$\lim_{m\to \infty } \lim_{\Delta x\to 0} \sum_{n=0}^{m} \frac{(\Delta x)^n}{(n+1)!}$.

Og da blir $\lim_{\Delta x\to 0} \sum_{n=0}^{m} \frac{(\Delta x)^n}{(n+1)!}=1$, så

$\lim_{m\to \infty } \lim_{\Delta x\to 0} \sum_{n=0}^{m} \frac{(\Delta x)^n}{(n+1)!}=1$

Poenget er at endringen av rekkefølgen av grensene generelt sett ikke er uproblematisk. Men her går det bra fordi $\sum_{n=0}^{m} \frac{(\Delta x)^n}{(n+1)!}$ såkalt konvergerer uniformt.

Men, du behøver ikke tenke altfor mye på dette foreløpig. Dette er pensum først på universitetet, trolig i reell analyse.


Jeg hang med på dette i starten, men videre i innlegget så gjør du mye jeg ikke forstår bæra av, hehe. Allikevel, så fikk det meg til å forstå at uendelige summer strengt tatt er en grenseverdi!

Tusen tusen takk for god hjelp med beviset og hjelp som går grundig til verks!
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Bevis for deriverte av e^x

Innlegg Gustav » 11/06-2017 00:05

Du trenger som sagt ikke bekymre deg så mye over detaljene i det siste jeg skrev, og det går dypere i teorien enn topic, men kan være greit å ha i bakhodet at man må være litt ekstra forsiktig når man driver med uendelige summer og grenser.

Her er forresten en liste over 6 ulike definisjoner av $e^x$ https://en.wikipedia.org/wiki/Character ... l_function

Nr 1,2 og 4 er de jeg nevnte tidligere.

Edit: Hvis du bruker definisjon 6 i linken av konstanten $e$, så ser du også at ditt første bevis funker umiddelbart:

Er dette et ok bevis for at [tex]e^x[/tex] er sin egen deriverte? Og er det "lovlig" å bruke andre derivasjonsregler i et slikt bevis, eller bør man kun bruke def. av den deriverte? I dette beviset er jo derivasjonsregelen [tex](a^u)' = a^u*ln(a)*(u)'[/tex] brukt.

[tex](e^x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \left [\frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} \right ][/tex]

[tex]= \lim_{\Delta x \to 0} \left [\frac{e^x * e^{\Delta x} - e^x}{\Delta x} \right ][/tex]

[tex]= \lim_{\Delta x \to 0} \left [\frac{e^x(e^{\Delta x} - 1)}{\Delta x} \right ][/tex]

[tex]=e^x \left ( \lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \right ] \right )[/tex]
.

Siden $e$ er definert som det unike tallet slik at $\lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \right ]=1$, så følger det at

$(e^x)'=e^x \left ( \lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \right ] \right )=e^x\cdot 1 =e^x$
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4286
Registrert: 12/12-2008 12:44

Forrige

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 1 gjest

cron