Hjelp med bevis for det N'te fibonacci tallet

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Hjelp med bevis for det N'te fibonacci tallet

Innlegg Kay » 20/07-2017 17:37

Leste nylig et papir fra Mat1001 om tallfølger og differenslikninger, og synes at det var noe fascinerende. Så på en del generelle tilfeller og tenkte at jeg utfra det jeg leste og forsto, kunne gjøre et forsøk på å gjøre et bevis for Fibonacci-sekvensen. Men jeg står litt fast nede ved slutten her, så kunne noen ha pekt meg i rett retning, eller fortalt meg om jeg faktisk er helt på jordet?

Vi vet at Fibonacci-sekvensen går som følger [tex]1,1,2,3,5,8,13,21,34,55\cdots[/tex]

Ut fra dette kan vi lage oss en definisjon av fibonacci-tallene.

Vi observerer at det nullte og det første tallet i denne sekvensen, [tex]n=0[/tex] gir [tex]1[/tex] og at [tex]n=1[/tex] gir [tex]1[/tex], men deretter observerer vi at tallene er en sum av de [tex]a_{n-1}+a_{n-2}[/tex] tallene i sekvensen.

Slik at sekvensen kan defineres slik: [tex]a: \left\{\begin{matrix} a_0 &=1 \\ a_1 &=1 \\ a_n &= a_{n-1}+a_{n-2} \text { hvis } n\geq 2 \\ \end{matrix}\right.[/tex]

Dette kan oppføres som en differenslikning

Vi definerer følgende:

[tex]a_n=\phi^n[/tex]

Følgelig må [tex]a_{n-1}=\phi^{n-1}[/tex] og [tex]a_{n-2}=\phi^{n-2}[/tex]

Siden vi har definert [tex]a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \text { hvis } n\geq 2[/tex] må jo [tex]\phi^n=\phi^{n-1}+\phi^{n-2}[/tex]. Dividerer hele greia på [tex]\phi^n[/tex] slik at vi får [tex]1=\phi^{-1}+\phi^{-2}[/tex], ser at jeg kan, så multipliserer hele likninga med [tex]\phi^2[/tex] og flytter over, slik at vi får [tex]\phi^2-\phi-1=0[/tex]

Dette gir at [tex]\phi =\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}[/tex]

Men hvordan skal jeg kunne gå vekk fra [tex]\pm[/tex], det er ikke helt intuitivt for min del


(Hvis jeg faktisk er på sporet av noe er det mye bedre å få et hint enn hele løsningen)
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 550
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Hjelp med bevis for det N'te fibonacci tallet

Innlegg MatIsa » 20/07-2017 20:02

Det du har gjort hittil er helt riktig. Dersom du har lært om lineære homogene differensiallikninger, er løsningsmetoden mer eller mindre helt lik: Gitt likningen $y'' + ay' + by = 0$ antar man en løsning på formen $y(x) = e^{\lambda x}$. Innsatt gir dette $\lambda^2 e^{\lambda x} + a\lambda e^{\lambda x} + b e^{\lambda x} = 0\Longrightarrow \lambda^2 + a\lambda + b = 0$. Denne annengradslikningen har to løsninger, $\lambda_1$ og $\lambda_2$. Dermed vil både $e^{\lambda_1 x}$ og $e^{\lambda_2 x}$ være løsninger til differensiallikningen, og en generell løsning vil være en lineærkombinasjon av disse, $y(x) = Ae^{\lambda_1 x} + Be^{\lambda_2 x}$. Har du noen tanker om hvordan du kan fortsette nå som du vet $\phi_1$ og $\phi_2$?
MatIsa offline
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 150
Registrert: 12/06-2013 11:09
Bosted: Trondheim

Re: Hjelp med bevis for det N'te fibonacci tallet

Innlegg Kay » 20/07-2017 21:51

MatIsa skrev:Det du har gjort hittil er helt riktig. Dersom du har lært om lineære homogene differensiallikninger, er løsningsmetoden mer eller mindre helt lik: Gitt likningen $y'' + ay' + by = 0$ antar man en løsning på formen $y(x) = e^{\lambda x}$. Innsatt gir dette $\lambda^2 e^{\lambda x} + a\lambda e^{\lambda x} + b e^{\lambda x} = 0\Longrightarrow \lambda^2 + a\lambda + b = 0$. Denne annengradslikningen har to løsninger, $\lambda_1$ og $\lambda_2$. Dermed vil både $e^{\lambda_1 x}$ og $e^{\lambda_2 x}$ være løsninger til differensiallikningen, og en generell løsning vil være en lineærkombinasjon av disse, $y(x) = Ae^{\lambda_1 x} + Be^{\lambda_2 x}$. Har du noen tanker om hvordan du kan fortsette nå som du vet $\phi_1$ og $\phi_2$?


Okei, så si vi har løsningene

[tex]\phi_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] og [tex]\phi_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]

Kan vi da si at [tex]a_n=A\phi_1^n+B\phi_2^n[/tex] som videre gir at [tex]a_n=A(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+B(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n[/tex]

Siden vi har et generalisert tilfelle for [tex]a_n[/tex], kan vi utfra dette lage et likningssystem?

[tex]a_0=A(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^0+B(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^0\Leftrightarrow A+B=1[/tex]
[tex]a_1=A(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^1+B(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^1\Leftrightarrow (\frac{1+\sqrt{5}}{2})A+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})B=1[/tex]

Løser den mhp. A og B ved hjelp av symbolab fordi jeg er for lat for algebra og får [tex]A=\frac{1}{10}(5+\sqrt{5})=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})[/tex]
[tex]B=\frac{5-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})[/tex]



Nå som vi har A og B kan vi plugge det inn i det generelle tilfellet [tex]a_n=A\phi_1^n +B\phi_2^n[/tex] slik at vi får [tex]a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(-\frac{1}{\sqrt{5}})(\frac{1-\sqrt{5}}{2})(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n[/tex]

Som endelig gir [tex]a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1} \forall n\geq 0[/tex]


[tex]Q.E.D.?[/tex]
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 550
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Hjelp med bevis for det N'te fibonacci tallet

Innlegg MatIsa » 22/07-2017 00:33

Ser bra ut!
MatIsa offline
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 150
Registrert: 12/06-2013 11:09
Bosted: Trondheim

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 4 gjester