matematikk.net

Hei.

Jeg sliter med denne oppgaven:

Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi (“ε-δ-definisjonen”) til ̊a vise at:
lim ((x^4 +x+1)/x^3) =−1.
x→−1

Det jeg har gjort til nå er

ε > 0 δ > 0 slik at

((x^4 +x+1)/x^3) =−1. < ε når 0< I x + 1 I < δ

I((x^4 +x+1)/x^3) =−1 I = I ((x^2 + 1)(x^2 + x - 1)/ x^3)I

Hva skal jeg gjør videre?

Gjest skrev:Hei.

Jeg sliter med denne oppgaven:

Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi (“ε-δ-definisjonen”) til ̊a vise at:
lim ((x^4 +x+1)/x^3) =−1.
x→−1

Det jeg har gjort til nå er

ε > 0 δ > 0 slik at

((x^4 +x+1)/x^3) =−1. < ε når 0< I x + 1 I < δ

I((x^4 +x+1)/x^3) =−1 I = I ((x^2 + 1)(x^2 + x - 1)/ x^3)I

Hva skal jeg gjør videre?

Du har ikke faktorisert korrekt. $(x^2 + 1)(x^2 + x - 1) = x^4 + x^3 + x - 1 \neq x^4 + x^3 + x + 1$.

Si at $\varepsilon > 0$ er gitt. Merk deg at hvis $\delta < \frac12$, har vi at $|x+1| < \delta \implies |x| > 1- \delta > \frac12, |x| < 2$. Nå, anta at $|x+1| < \delta < \frac12.$ Da har vi altså at $$\begin{align*}|\frac{x^4 + x + 1}{x^3} + 1| & = |\frac{x^4 + x^3 + x + 1 }{x^3}| \\ &= |\frac{(x+1)^2(x^2 - x + 1)}{x^3}| \\ &= \frac{|x+1|^2|x^2 - x + 1|}{|x|^3} \\ & \leq \frac{|x+1|^2\left(|x|^2 + |x| + 1\right)}{|x|^3} \\ & < \frac{\delta^2\left(2^2 + 2 + 1\right)}{\left(\frac12\right)^3} \\ & = 56\delta,\end{align*}$$
og dermed ser vi at $|x+1| < \delta \implies |\frac{x^4 + x + 1}{x^3} + 1| < \varepsilon$ dersom vi velger $\delta < \min\{\frac12, \frac{1}{56}\varepsilon\},$ hvilket bekrefter grenseverdien formelt.