Generering av primitive pytegoreiske tripler (PPT)

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Generering av primitive pytegoreiske tripler (PPT)

Innlegg Aleks855 » 13/01-2018 00:17

Jeg har til nå vært gjennom hele prosessen med å vise at for oddetalls $s, t : s > t \geq 1, \ \ \gcd(s, t) = 1$ så kan man generere PPTer med formelen $$(a, b, c) = \left(st, \frac{s^2-t^2}{2}, \frac{s^2+t^2}{2}\right)$$

Jeg har sett at alle kombinasjoner av slike verdier for $s, t$ vil generere unike PTer, men det jeg mangler er å vise at disse garanteres å være primitive.

Det vil si, det gjenstår å bevise at $\gcd\left(st, \frac{s^2-t^2}{2}, \frac{s^2+t^2}{2}\right) = 1$.

Boka hinter til at man kan bruke regelen om at $d \mid xy \Rightarrow d\mid x \vee d\mid y$, og føre et bevis ved motsigelse.

Dersom vi antar $\exists p : p | st$ der $p$ er primtall, så kan vi si at $p \mid s \wedge p \nmid t$ fordi $\gcd(s, t) = 1$. Dette medfører at $\left[p \nmid (s+t), (s-t)\right] \Rightarrow p \nmid s^2-t^2$.

Er dette holdbart som bevis for at $\gcd\left(st, \frac{s^2-t^2}{2}\right) = 1$? I så fall ser jeg kanskje hvordan jeg kan vise det samme for $st, \frac{s^2+t^2}{2}$ men å vise det for $\frac{s^2-t^2}{2}, \frac{s^2+t^2}{2}$ har jeg ikke sett på enda.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5830
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Generering av primitive pytegoreiske tripler (PPT)

Innlegg stensrud » 13/01-2018 01:43

Ja du skrev basically ned beviset der; bare et par kommentarer: For det første så er det viktig å avklare hva som menes med $\gcd(x,y,z)=1$. Man kan enten mene at det betyr at alle tre tallene $x,y,z$ er parvis primiske, eller så kan det bety at ingenting utenom $1$ deler alle tre tallene. For eksempel så er $2,3,5$ parvis primiske, mens $2,3,6$ ikke er parvis primiske, selv om ingenting utenom $1$ deler både $2,3$ og $6$.

Med en primitiv pythagoreisk trippel så menes det en heltallstrippel $(a,b,c)$ med $a^2+b^2=c^2$ hvor ingenting utenom $1$ deler $a,b$ og $c$. Dette betyr at hvis du for eksempel klarer å vise at $\gcd(a,b)=1$ så er dette nok. MEN i dette tilfellet så kan du jo se på om en trippel kan være primitiv uten at de tre sidelengdene ikke også er parvis primiske - med andre ord, vis at $d$ deler både $a$ og $c$ (si), så må $d$ også dele $b$.

Tilbake til beviset ditt: Det holder som sagt å vise at $\gcd(st,(s^2+t^2)/2)=1$, eller enda sterkere, at $\gcd(st,s^2+t^2)=1$ (hvorfor?). Hvis et primtall $p$ deler $s$ (WLOG), så vil $s^2+t^2\equiv t^2\pmod{p}$, men siden $\gcd(s,t)=1$ så kan ikke $p$ dele $t$, og da er $t^2\not \equiv 0\pmod{p}$, så ingen primtall kan dele både $st$ og $s^2+t^2$, og derfor er $\gcd(st,s^2+t^2)=1$, som ønsket.
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: Generering av primitive pytegoreiske tripler (PPT)

Innlegg Aleks855 » 23/01-2018 16:48

Beklager sent svar! Det tok litt tid før jeg kom tilbake til dette emnet.

stensrud skrev:Tilbake til beviset ditt: Det holder som sagt å vise at $\gcd(st,(s^2+t^2)/2)=1$, eller enda sterkere, at $\gcd(st,s^2+t^2)=1$ (hvorfor?).


Er dette fordi vi også kan inkludere $2$ i lista over primtall som ikke deler de to uttrykkene?

EDIT: Nei vent, $2$ kan allerede sies å ikke dele $st$ da $s, t$ er odde.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5830
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Generering av primitive pytegoreiske tripler (PPT)

Innlegg Gustav » 23/01-2018 20:46

Det er ikke vanskelig å vise at

$\gcd(st,s^2+t^2)=1 \Rightarrow \gcd(st,(s^2+t^2)/2)=1$. (Du trenger ikke den motsatte implikasjonen)

Bevis ved motsigelse: La $\gcd(st,s^2+t^2)=1$. Anta $\gcd(st,(s^2+t^2)/2)=n>1$. Siden $n|(s^2+t^2)/2$ vil $n|(s^2+t^2)$. Dermed vil $\gcd(st,s^2+t^2)\geq n>1$, som er en motsigelse.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4283
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 4 gjester