Generering av primitive pytegoreiske tripler (PPT)
Lagt inn: 13/01-2018 00:17
Jeg har til nå vært gjennom hele prosessen med å vise at for oddetalls $s, t : s > t \geq 1, \ \ \gcd(s, t) = 1$ så kan man generere PPTer med formelen $$(a, b, c) = \left(st, \frac{s^2-t^2}{2}, \frac{s^2+t^2}{2}\right)$$
Jeg har sett at alle kombinasjoner av slike verdier for $s, t$ vil generere unike PTer, men det jeg mangler er å vise at disse garanteres å være primitive.
Det vil si, det gjenstår å bevise at $\gcd\left(st, \frac{s^2-t^2}{2}, \frac{s^2+t^2}{2}\right) = 1$.
Boka hinter til at man kan bruke regelen om at $d \mid xy \Rightarrow d\mid x \vee d\mid y$, og føre et bevis ved motsigelse.
Dersom vi antar $\exists p : p | st$ der $p$ er primtall, så kan vi si at $p \mid s \wedge p \nmid t$ fordi $\gcd(s, t) = 1$. Dette medfører at $\left[p \nmid (s+t), (s-t)\right] \Rightarrow p \nmid s^2-t^2$.
Er dette holdbart som bevis for at $\gcd\left(st, \frac{s^2-t^2}{2}\right) = 1$? I så fall ser jeg kanskje hvordan jeg kan vise det samme for $st, \frac{s^2+t^2}{2}$ men å vise det for $\frac{s^2-t^2}{2}, \frac{s^2+t^2}{2}$ har jeg ikke sett på enda.
Jeg har sett at alle kombinasjoner av slike verdier for $s, t$ vil generere unike PTer, men det jeg mangler er å vise at disse garanteres å være primitive.
Det vil si, det gjenstår å bevise at $\gcd\left(st, \frac{s^2-t^2}{2}, \frac{s^2+t^2}{2}\right) = 1$.
Boka hinter til at man kan bruke regelen om at $d \mid xy \Rightarrow d\mid x \vee d\mid y$, og føre et bevis ved motsigelse.
Dersom vi antar $\exists p : p | st$ der $p$ er primtall, så kan vi si at $p \mid s \wedge p \nmid t$ fordi $\gcd(s, t) = 1$. Dette medfører at $\left[p \nmid (s+t), (s-t)\right] \Rightarrow p \nmid s^2-t^2$.
Er dette holdbart som bevis for at $\gcd\left(st, \frac{s^2-t^2}{2}\right) = 1$? I så fall ser jeg kanskje hvordan jeg kan vise det samme for $st, \frac{s^2+t^2}{2}$ men å vise det for $\frac{s^2-t^2}{2}, \frac{s^2+t^2}{2}$ har jeg ikke sett på enda.