Induksjonsbevis uten grunntilfelle
Lagt inn: 27/01-2018 14:08
La oss betrakte påstanden $1+3+5+\cdots + (2n-1) = n^2+3$
Under induksjonssteget kan vi lett se at dersom påstanden holder for $n=k$, så vil $1+3+5+\cdots+(2k-1) + (2k+1) = k^2 + 3 + (2k + 1) = (k+1)^2 + 3$.
Så induksjonssteget holder.
Men problemet her er at det er vanskelig å finne et grunntilfelle som påstanden holder for. Vi kan kjapt verifisere at påstanden IKKE holder for $n \in \{1, 2, 3\}$ og man kan sikkert fortsette.
Spørsmålet er jo da om det KAN finnes en $n$ som påstanden holder for, eller om det ikke kan finnes noen.
Det står ikke helt klart i boka hva man kan konkludere, men slik jeg ser det, så kan man vel bytte ut likhetstegnet med ulikhetstegn i beviset, og heller la det stå som et bevis for at $1+3+5+\cdots + (2n-1) \neq n^2+3 \ \ \forall n\in\mathbb N$, gitt at man viser ulikheten for grunntilfellet $n=1$?
Under induksjonssteget kan vi lett se at dersom påstanden holder for $n=k$, så vil $1+3+5+\cdots+(2k-1) + (2k+1) = k^2 + 3 + (2k + 1) = (k+1)^2 + 3$.
Så induksjonssteget holder.
Men problemet her er at det er vanskelig å finne et grunntilfelle som påstanden holder for. Vi kan kjapt verifisere at påstanden IKKE holder for $n \in \{1, 2, 3\}$ og man kan sikkert fortsette.
Spørsmålet er jo da om det KAN finnes en $n$ som påstanden holder for, eller om det ikke kan finnes noen.
Det står ikke helt klart i boka hva man kan konkludere, men slik jeg ser det, så kan man vel bytte ut likhetstegnet med ulikhetstegn i beviset, og heller la det stå som et bevis for at $1+3+5+\cdots + (2n-1) \neq n^2+3 \ \ \forall n\in\mathbb N$, gitt at man viser ulikheten for grunntilfellet $n=1$?