Markus skrev:Har begynt å utforske reell analyse litt, og skulle gjerne hatt en proofread av $\lim_{x\to 1} 2x^2+1=3$ ved $\epsilon-\delta$-definisjonen på en grenseverdi. Selve grenseverdien er ikke så vanskelig, men det er mer å se om jeg har forstått definisjonen.
Du har tenkt riktig og det er ikke veldig mye å ta tak i her, men du kan jobbe med å gjøre føringen og forklaringene dine tydeligere.
Markus skrev: For et hvert tall $\epsilon > 0$ finnes det et tall $\delta > 0$, slik at $\lvert 2x^2+1-3 \rvert = \lvert 2x^2 - 2 \rvert < \epsilon$ når $0 < \lvert x-1 \rvert < \delta$.
Husk at dette er påstanden vi ønsker å bevise. Det blir litt rart å begynne beviset med konklusjonen.
Markus skrev:Nå er
$\lvert 2x^2-2 \rvert$
$= 2 \lvert x^2-1 \rvert$
$= 2\lvert x+1 \rvert \lvert x-1 \rvert$
$< 2\delta \lvert x+1 \rvert$
Antar at $\lvert x-1 \rvert < 1$, hvilket impliserer at $\lvert x \rvert < 2$. Da følger det av trekantulikheten at
$\lvert x \rvert + \lvert 1 \rvert > \lvert x+1 \rvert \Longrightarrow \lvert x+1 \rvert < 3 \Longrightarrow 2\lvert x+1 \rvert < 6$.
Her utforsker du betingelsene som må gjelde for $x$ (at vi må ha $x$ "nærme nok" $1$ for at vi skal kunne klare å påvise de nødvendige ulikhetene). Mitt råd er å kladde denne utforskningen først, og så skrive beviset "baklengs" slik jeg har gjort i løsningsforslaget nedenfor. Det gjør beviset noe tydeligere, og man blir sikker på at man ikke roter i implikasjonene sine. Forresten gir trekantulikheten kun svak ulikhet (og den trengs strengt tatt ikke her, se løsningsforslaget), og tegnet "$\implies$" betyr "... impliserer at...", ikke "dermed". Bruk "$\therefore$" istedenfor "$\implies$".
Markus skrev:Vi lar
$\delta = \min \left (1, \frac{\epsilon}{6} \right )$
Da følger det at
$\lvert 2x^2-2 \rvert < 2\delta \lvert x+1 \rvert < 6\delta = \epsilon$
Og dette fullfører beviset. (?)
Du bør alltid sette $\delta$
mindre enn denne minimumsverdien. Ellers er dette en fin måte å konkludere beviset ditt på. Jeg ville bare ryddet litt opp i "utforskningsdelen".
Løsningsforslag:
- [+] Skjult tekst
- Vi ønsker å vise at $\lim_{x\rightarrow 1}\left(2x^2-2\right) = 0$. La $\varepsilon > 0$ være gitt. Vi ønsker å finne $\delta > 0$ slik at $|x-1| < \delta \implies |2x^2 - 2| <\varepsilon$. Anta uten tap av generalitet at $|x-1| < 1$. Da er $0 < x < 2$, så $1 < x+1 < 2$. $\therefore |x+1| < 2$. Dermed får vi at $$|2x^2 - 2| = 2|x+1||x-1| <2|x+1|\delta < 4\delta < \varepsilon,$$ dersom vi velger $\delta < \text{min}\left(1,\frac14\varepsilon\right).$