matematikk.net

Har litt problemer med å navigere meg rundt divisjonsteoremet, som kort fortalt sier at for alle $a, b \in \mathbb Z \ \ : \ \ \exists !q, r \in \mathbb Z \ \ | \ \ a = qb + r$.

Det jeg mener med navigasjonsproblemer er egentlig bare mitt søk etter et bevis som tar for seg $a, b \in \mathbb Z$ i en fei, men alle startpunkter jeg finner går ut på å separere det i flere bevis; $a>0, a<0, b>0, b<0$.

Hvis man fører et bevis for $a>0, b>0$, vil bevisene for de øvrige konfigurasjonene være i samme stien?

Aleks855 skrev:Har litt problemer med å navigere meg rundt divisjonsteoremet, som kort fortalt sier at for alle $a, b \in \mathbb Z \ \ : \ \ \exists !q, r \in \mathbb Z \ \ | \ \ a = qb + r$.

Det jeg mener med navigasjonsproblemer er egentlig bare mitt søk etter et bevis som tar for seg $a, b \in \mathbb Z$ i en fei, men alle startpunkter jeg finner går ut på å separere det i flere bevis; $a>0, a<0, b>0, b<0$.

Hvis man fører et bevis for $a>0, b>0$, vil bevisene for de øvrige konfigurasjonene være i samme stien?

Husk at divisjonsteoremet sier at $b\neq 0$ og $0 \leq r < b$. Hvis vi ikke nevner det siste er ikke $q$ og $r$ unike, og teoremet er usant!

Dersom du har bevist teoremet (både eksistens og unikhet for $q,r$) for $b>0$ så følger $b<0$ automatisk, ettersom vi kan velge $-q$ istedenfor $q$.

De fleste bevis for tilfellet $b>0$ vil gjerne behandle deltilfellene $a\geq 0$ og $a<0$ separat.

Tror det korteste jeg har sett er ved induksjon på [tex]a[/tex]. Du må fortsatt gjøre induksjonen i begge retninger (negative og positive), men det blir to helt like caser med ulikheter og argumenter andre veien.