Skjæringssetningen
Lagt inn: 02/02-2019 04:39
Ønsker å bevise følgende; La [tex]f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}[/tex] være en kontinuerlig funksjon og [tex]s[/tex] være et reelt tall mellom [tex]f(a)[/tex] og [tex]f(b)[/tex]. Da eksisterer det et tall [tex]r\in (a,b)[/tex] slik at [tex]f(r)=s[/tex]
Kan noen se om dette beviset holder?
Betrakt settet [tex]A=\left \{ x\in [a,b]:f(x)<s \right \} \neq \emptyset \Rightarrow r = \sup(A)[/tex].
vi ønsker å se på de tre tilfellene [tex]f(r)=s[/tex], [tex]f(r)<s[/tex] og [tex]f(r)>s[/tex]
I tilfelle 1. er du vel allerede i mål.
Anta at [tex]f(r)>s[/tex] og la [tex]\varepsilon=f(r)-s>0[/tex]. Av det faktum at funksjonen er kontinuerlig må det være en [tex]\delta>0[/tex] slik at [tex]|x-r|>\delta \Longrightarrow |f(x)-f(r)|<\varepsilon[/tex], men [tex]|f(x)-f(r)|<\varepsilon\Longrightarrow f(x)>s[/tex], så [tex]r-\delta[/tex] er øvre skranke i settet, hvilket er en selvmotsigelse mot at [tex]r=\sup(A)[/tex] (?).
Samme framgangs måten tas i bruk på den andre påstanden og fra det så vil det vel følge at [tex]f(r)=s[/tex]. Har jeg oversett noe her?
Kan noen se om dette beviset holder?
Betrakt settet [tex]A=\left \{ x\in [a,b]:f(x)<s \right \} \neq \emptyset \Rightarrow r = \sup(A)[/tex].
vi ønsker å se på de tre tilfellene [tex]f(r)=s[/tex], [tex]f(r)<s[/tex] og [tex]f(r)>s[/tex]
I tilfelle 1. er du vel allerede i mål.
Anta at [tex]f(r)>s[/tex] og la [tex]\varepsilon=f(r)-s>0[/tex]. Av det faktum at funksjonen er kontinuerlig må det være en [tex]\delta>0[/tex] slik at [tex]|x-r|>\delta \Longrightarrow |f(x)-f(r)|<\varepsilon[/tex], men [tex]|f(x)-f(r)|<\varepsilon\Longrightarrow f(x)>s[/tex], så [tex]r-\delta[/tex] er øvre skranke i settet, hvilket er en selvmotsigelse mot at [tex]r=\sup(A)[/tex] (?).
Samme framgangs måten tas i bruk på den andre påstanden og fra det så vil det vel følge at [tex]f(r)=s[/tex]. Har jeg oversett noe her?