Eksempler på uniform kontinuitet som er lett å bevise

[Aleks855]

Dette er kanskje et "mykt" spørsmål i den forstand at det har flere mulige svar, men bakgrunnen er at jeg har laget noen videoer om hvordan man beviser at en funksjon er kontinuerlig i et punkt, og skal fortsette med et par bevis for at en funksjon er kontinuerlig overalt.

Jeg prøver å finne et så enkelt eksempel som mulig, men det virker som de fleste eksemplene som ser lette ut i farta, ender opp med å være litt lengre (ikke nødvendigvis vanskelig) enn jeg ser for meg. Hadde vært fint med et eksempel som er ganske kjapp og lettvint, slik at vanskelighetsgraden heller kan økes gradvis.

$x^2$ er kanskje den letteste jeg har funnet hittil. Algebraen der er forholdsvis lett, men jeg mistenker at det kanskje finnes enda lettere eksempler. Et åpenbart eksempel er sannsynligvis en lineær funksjon, så jeg tipper jeg starter der. Har dere noen ideer til et naturlig steg videre?

[Markus]

Begrepene uniform kontinuerlig og kontinuerlig overalt betyr ikke det samme. For eksempel er $x^2$ kontinuerlig overalt (altså på hele $\mathbb{R}$, men den er ikke uniform kontinuerlig på hele $\mathbb{R}$). En funksjon er kontinuerlig på et intervall $I$ hvis $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : |x-x_0|<\delta \implies |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \enspace \forall x_0 \in I$, og den er uniform kontinuerlig på et intervall $I$ hvis $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : |x-y|< \delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon \enspace \forall x,y \in I$. Hvilke av de er det du ønsker eksempel på? Med måten du skrev spørsmålet ditt på, regner jeg med det er førstnevnte. To kjappe eksempler:

i) lineære funksjoner
ii) alle polynomer (vanskelighetsgraden her avhenger jo litt av hvilket polynom du velger)

Det som dog er standard å vise er at hvis to funksjoner $f,g$ er kontinuerlig på $I$ så er $f+g,f-g,fg$ og $f/g$ (gitt at divisjonen gir mening) også kontinuerlige på $I$, og med det trenger man ikke å bruke $\epsilon-\delta$ noe mer.

[Aleks855]

Ah, bingo. Blingsa litt på terminologien der. Har akkurat betraktet uniform kontinuitet for $x^2$ over $(0, 1)$, og kontinuitet over $\mathbb R$, nærmest samtidig for å se hvordan utregninga utspiller seg forskjellig.

Men som du mistenker så er det "alminnelig" kontinuitet jeg tenker på.

Som nevnt i første innlegg, så er lineære funksjoner det første som slo meg. Enkel utregning som ikke tar fokus vekk fra målet.

Viktig det du nevner om kombinasjoner. Er dette så lett som jeg forestiller meg? For addisjon:

La $f, g$ være kontinuerlige funksjoner på et åpent intervall $S \subseteq \mathbb R$ slik at $x\to c \Rightarrow f(x) \to m$ og $x\to c \Rightarrow g(x) \to n$ for alle $c \in S$.

Fra summeregelen for grenseverdier har vi at $x\to c \Rightarrow (f(x) + g(x)) \to m+n$ som per definisjon medfører kontinuitet for summen i $x=c$.

[Markus]

Det stemmer det ja, og beviset for funksjoner er omtrent identisk som grenseverdier. Legger ved et kort bevis (så du kan sammenligne): Anta $f,g$ er kontinuerlige på et intervall $I$ og la $x_0 \in I$. Siden $f,g$ er kontinuerlige er vi gitt at $|f(x)-f(x_0)|<\frac{\epsilon}{2}$ når $|x-x_0|<\delta_1$ og $|g(x)-g(x_0)|<\frac{\epsilon}{2}$ når $|x-x_0|<\delta_2$. Nå er $$ \begin{alignat*}{2} |(f(x)+g(x))-(f(x_0)+g(x_0))| &= |(f(x)-f(x_0)) + (g(x)-g(x_0))| \\
&\leq |f(x)-f(x_0)| + |g(x)-g(x_0)| \qquad (\text{ trekantulikheten }) \\
&< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{alignat*}$$ dersom $|x-x_0|<\min(\delta_1,\delta_2)$. Jeg vet ikke om du har gjort det enda, men å vise at produktet også er kontinuerlig er en god øvelse, da den krever en del kløktig tenking. Forresten er jeg rimelig sikker på at du ikke trenger at $I$ er et åpent intervall, det kan fint være lukket med mindre jeg overser noe.

[Aleks855]

Det du minner meg på er at jeg burde føre bevis for summe- og produktregelen for grenseverdier før jeg gjør det samme for kontinuitet.

Summeregelen gikk greit for seg. Får se om jeg tar produktregelen like glatt.