Produktregelen for grenser

[Markus]

Jeg tenkte det var underforstått at hvis $\lim_{x \to c} g(x)$ eksisterte (dvs. at venstre og høyre grenseverdi sammenfaller i punktet $c$, så var $\lim_{x \to c} g(x) = g(c)$. Men dette trenger nødvendigvis ikke å være sant da kanskje?

Dette er på ingen måte underforstått, men er heller det sentrale i definisjonen av kontinuitet. Se på følgende funksjon:
$$f(x) = \begin{cases}0 & x\neq 0 \\ 1 & x=0.\end{cases}$$

Da eksisterer grenseverdien $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$, men $\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0 \neq 1 = f(0)$, så $f$ er ikke kontinuerlig for $x=0$.

Takk for oppklaringen! En slik definisjon bør vel egentlig strengt tatt sitte nå.. Beklager for feilinformeringen Aleks, men som nevnt i innlegget over funker argumentasjonen din!

[Gustav]

Det som er neglisjert gjennom hele tråden er vel den første ulikheten i definisjonen av en grense $\forall \epsilon>0 \quad \exists \delta >0 \quad s.a. \quad 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$, så funksjonsverdien i $x=c$ har ingen betydning for om implikasjonen gjelder. Dermed vil grenseverdien kunne eksistere slik Dennis gir eksempel på, selv om funksjonen ikke er kontinuerlig i punktet.

[Aleks855]

Hehe, jeg mente også det var underforstått i dette tilfellet at gitt $g(x) = k, \ k\in\mathbb R$, med underlagt bevis om at $\lim\limits_{x\to c}g(x) = k \ \forall c \in \mathbb R$, så er det gitt at $g(c) = k \ \forall c\in\mathbb R$. Burde dette også bevises først?

[Gustav]

Hehe, jeg mente også det var underforstått i dette tilfellet at gitt $g(x) = k, \ k\in\mathbb R$, med underlagt bevis om at $\lim\limits_{x\to c}g(x) = k \ \forall c \in \mathbb R$, så er det gitt at $g(c) = k \ \forall c\in\mathbb R$. Burde dette også bevises først?

Hva eksakt skal du vise?

[Aleks855]

Haha, det kan være på tide med en oppsummering når du sier det.

Jeg har ført et bevis for produktregelen, men antakelsene jeg gjorde var at vi er gitt $f(x)$ og $g(x)$ som har eksisterende grenseverdier $x\to c \ \Rightarrow \ \left[f(x) \to L \ \wedge \ g(x) \to M \right]$. Men på ingen punkt nevnte jeg at funksjonene er definert i $x=c$. Jeg ser imidlertid ikke at dette er nødvendig, fordi grenseverdien for produktet behøver ikke være avhengig av at funksjonene er definert i $x=c$ (og dermed er kontinuerlig)?

Men samtidig så må jeg navigere litt rundt begrepet "kontinuerlig", fordi emnet grenseverdier kommer før "kontinuitet" nevnes.

Målet videre er å bevise regelen: La $f(x) \ : \ \lim\limits_{x\to c}f(x) = L$ være en eksisterende grense. Da vil $\lim\limits_{x\to c}k\cdot f(x) = k \lim\limits_{x\to c}f(x)$ der $k \in \mathbb R$.

Planen var å bruke produktregelen, med spesialtilfellet $g(x) = k$ for å illustrere bevisføring der problemet reduseres til to allerede beviste resultater: Produktregelen, samt $\lim\limits_{x\to c}k = k$.

Deretter tok diskusjonen en vending, og jeg fikk en følelse av at jeg kanskje hadde gått på en smell ved å mentalt "anta" (uten å egentlig nevne eller bruke) at funksjonene er definert i $x=c$.

Slik jeg forstår det etter ny gjennomlesing av innleggene så var det ikke noe som kjeppa hjulene likevel, men kan være fint å få dette bekreftet før jeg fortsetter. Epsilon/delta er notorisk for å ikke være det letteste konseptet, og det er mange fallgruver av å ikke være påpasselig med språket.

Det gjør også at jeg selvfølgelig setter ekstra stor pris på all deltakelsen i denne tråden!

[Gustav]

Jeg har ført et bevis for produktregelen, men antakelsene jeg gjorde var at vi er gitt $f(x)$ og $g(x)$ som har eksisterende grenseverdier $x\to c \ \Rightarrow \ \left[f(x) \to L \ \wedge \ g(x) \to M \right]$. Men på ingen punkt nevnte jeg at funksjonene er definert i $x=c$. Jeg ser imidlertid ikke at dette er nødvendig, fordi grenseverdien for produktet behøver ikke være avhengig av at funksjonene er definert i $x=c$ (og dermed er kontinuerlig)?

Det er riktig at man ikke trenger funksjonsverdiene i $x=c$ her ja. I tillegg behøver man ikke å introdusere kontinuitet i det hele tatt på dette tidspunktet.

Målet videre er å bevise regelen: La $f(x) \ : \ \lim\limits_{x\to c}f(x) = L$ være en eksisterende grense. Da vil $\lim\limits_{x\to c}k\cdot f(x) = k \lim\limits_{x\to c}f(x)$ der $k \in \mathbb R$.

Planen var å bruke produktregelen, med spesialtilfellet $g(x) = k$ for å illustrere bevisføring der problemet reduseres til to allerede beviste resultater: Produktregelen, samt $\lim\limits_{x\to c}k = k$.

Ok, så det virker som det eneste som gjenstår er å vise formelt at dersom $f(x)=k$, så er $\lim_{x\to c}f(x)=k$. Det eneste man behøver å observere her er at $|f(x)-k|=|k-k|=0<\epsilon$ for alle $\epsilon>0$, så da er valget av $\delta$ vilkårlig, og $\lim_{x\to c}f(x)$ eksisterer og er lik $k$ fra $\epsilon-\delta-$definisjonen.

[Aleks855]

Jepp, regelen for konstante funksjoner er bevist. Så da virker det som neste steg blir å lage $k\cdot f(x)$-videoen.

Takk for input!