Haha, det kan være på tide med en oppsummering når du sier det.
Jeg har ført et bevis for produktregelen, men antakelsene jeg gjorde var at vi er gitt $f(x)$ og $g(x)$ som har eksisterende grenseverdier $x\to c \ \Rightarrow \ \left[f(x) \to L \ \wedge \ g(x) \to M \right]$. Men på ingen punkt nevnte jeg at funksjonene er definert i $x=c$. Jeg ser imidlertid ikke at dette er nødvendig, fordi grenseverdien for produktet behøver ikke være avhengig av at funksjonene er definert i $x=c$ (og dermed er kontinuerlig)?
Men samtidig så må jeg navigere litt rundt begrepet "kontinuerlig", fordi emnet grenseverdier kommer før "kontinuitet" nevnes.
Målet videre er å bevise regelen: La $f(x) \ : \ \lim\limits_{x\to c}f(x) = L$ være en eksisterende grense. Da vil $\lim\limits_{x\to c}k\cdot f(x) = k \lim\limits_{x\to c}f(x)$ der $k \in \mathbb R$.
Planen var å bruke produktregelen, med spesialtilfellet $g(x) = k$ for å illustrere bevisføring der problemet reduseres til to allerede beviste resultater: Produktregelen, samt $\lim\limits_{x\to c}k = k$.
Deretter tok diskusjonen en vending, og jeg fikk en følelse av at jeg kanskje hadde gått på en smell ved å mentalt "anta" (uten å egentlig nevne eller bruke) at funksjonene er definert i $x=c$.
Slik jeg forstår det etter ny gjennomlesing av innleggene så var det ikke noe som kjeppa hjulene likevel, men kan være fint å få dette bekreftet før jeg fortsetter. Epsilon/delta er notorisk for å ikke være det letteste konseptet, og det er mange fallgruver av å ikke være påpasselig med språket.
Det gjør også at jeg selvfølgelig setter ekstra stor pris på all deltakelsen i denne tråden!