Trig - Bevise kofunksjon-identiteter for $\theta > \pi/2$
Lagt inn: 06/04-2019 00:22
Satt og kikka litt gjennom en R2-bok jeg har liggende, og la merke til (enda) et hull i bevisføringa til boka.
Vi opplyses om at $\sin(\frac\pi2 - \theta) = \cos(\theta)$ og vice versa (som jeg har oppdaget kalles "kofunksjon-identiteter"), og det føres et lite bevis som bruker en rettvinklet trekant. Og det er jo et fint bevis, men problemet er at vi nå kun har bevist det for $\theta \in [0, \pi/2]$.
Det står videre at dette KAN bevises for alle $\theta$ ved å bruke enhetssirkelen, men jeg kommer ikke helt i mål der.
Det jeg har prøvd er å illustrere problemet, og se at det gir mening. Legger merke til at hvis vi lar $\alpha = \pi/2 - \theta$, så kan vi lage to rektangler, der den ene har sidelengdene $\cos\theta, \ \sin\theta$ og den andre har $\cos\alpha, \ \sin\alpha$, og det kan jo se ut som at de to rektanglene er roterte versjoner av hverandre.
Alternative enkle bevis er å bruke andre trig-identiteter, eksempelvis $\sin(\pi/2 - \theta) = \sin(\pi/2 + (-\theta)) = \sin(\pi/2)\cos(-\theta) + cos(\pi/2)\sin(-\theta) = \cos(-\theta) = \cos\theta$.
Men jeg tenker at det hadde vært penere med et enhetssirkel-bevis som tar utgangspunkt i allerede kjent kunnskap fra tidligere kurs som 1T og R1. Litt fordi jeg synes enhetssirkel-baserte bevis er for gode til å hoppe over, og litt fordi man slipper å bekymre seg for å måtte grave dypere og bevise de identitetene man trenger. Nå er jo $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ i seg selv et fint eksempel på noe som kan illustreres med enhetssirkelen, forsåvidt.
Lurer altså på om det samme gjelder for kofunksjon-identitetene?
Vi opplyses om at $\sin(\frac\pi2 - \theta) = \cos(\theta)$ og vice versa (som jeg har oppdaget kalles "kofunksjon-identiteter"), og det føres et lite bevis som bruker en rettvinklet trekant. Og det er jo et fint bevis, men problemet er at vi nå kun har bevist det for $\theta \in [0, \pi/2]$.
Det står videre at dette KAN bevises for alle $\theta$ ved å bruke enhetssirkelen, men jeg kommer ikke helt i mål der.
Det jeg har prøvd er å illustrere problemet, og se at det gir mening. Legger merke til at hvis vi lar $\alpha = \pi/2 - \theta$, så kan vi lage to rektangler, der den ene har sidelengdene $\cos\theta, \ \sin\theta$ og den andre har $\cos\alpha, \ \sin\alpha$, og det kan jo se ut som at de to rektanglene er roterte versjoner av hverandre.
Alternative enkle bevis er å bruke andre trig-identiteter, eksempelvis $\sin(\pi/2 - \theta) = \sin(\pi/2 + (-\theta)) = \sin(\pi/2)\cos(-\theta) + cos(\pi/2)\sin(-\theta) = \cos(-\theta) = \cos\theta$.
Men jeg tenker at det hadde vært penere med et enhetssirkel-bevis som tar utgangspunkt i allerede kjent kunnskap fra tidligere kurs som 1T og R1. Litt fordi jeg synes enhetssirkel-baserte bevis er for gode til å hoppe over, og litt fordi man slipper å bekymre seg for å måtte grave dypere og bevise de identitetene man trenger. Nå er jo $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ i seg selv et fint eksempel på noe som kan illustreres med enhetssirkelen, forsåvidt.
Lurer altså på om det samme gjelder for kofunksjon-identitetene?