Enda et trig-bevis, nå med vinkelsummer

[Aleks855]

Har storkosa meg med disse i det siste. Prøver her å vise at $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha$ vha. enhetssirkelen. Og jeg føler jeg er veldig nær enden.

Jeg tok utgangspunkt i et fint bevis som sto på Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of ... identities

Men for å gjøre det litt mer interessant, så innfører jeg at $\alpha + \beta > \frac\pi2$. Hele beviset lar seg fremdeles gjennomføre frem til siste linje. Her er en illustrasjon av det jeg har kommet frem til så langt:



Fra det jeg har skrevet i hvitt på høyre side, så gjenstår det bare å vise at $AQ + PR = \sin(\alpha + \beta)$, så er beviset fullført, men det er der jeg går på en ørliten smell.

[Aleks855]

Å herregud, $BR = AQ$ som allerede er demonstrert å være lik $\sin\alpha\cos\beta$. Innsett et minutt etter jeg skrev innlegget.

Vurderer å slette tråden, men lar det stå som en påminnelse om at rubberducking er et fullverdig verktøy, også i matematikken.

[Markus]

Et annet veldig fint bevis, som fungerer veldig godt som en huskeregel for denne formelen:

Ved Eulers formel: $e^{i\alpha} = \cos(\alpha)+i\sin(\alpha)$ og $e^{i\beta} = \cos(\beta)+i\sin(\beta)$. Dermed er $$\begin{alignat*}{2}e^{i(\alpha+\beta)} &= \left(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha) \right)\left(\cos(\beta)+i\sin(\beta)\right) = \cos(\alpha)\cos(\beta)+i\cos(\alpha)\sin(\beta)+i\sin(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta) \\
&= [\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)] - i [\cos(\alpha)\sin(\beta) + \sin(\alpha)\cos(\beta)]\end{alignat*}$$ Nå, siden $\text{Re}\left(e^{i(\alpha+\beta)} \right) = \cos(\alpha+\beta)$ og $\text{Im}\left ( e^{i(\alpha+\beta)} \right) = \sin(\alpha+\beta)$ får vi ved å sammenligne reelle og imaginære komponenter summeformlene for cosinus og sinus.

[Aleks855]

Jepp, jeg liker det beviset. Jeg liker også beviset som innebærer å potensrekkeutvikle trig-funksjonene. Men dette er tiltenkt R2-kurset, så jeg kan ikke basere meg på antakelsen om at komplekse tall og/eller rekkeutvikling er kjent.

Men det minner meg på at jeg har en spilleliste om komplekse tall, OG en spilleliste om rekkeutvikling, der jeg i begge tilfeller ikke er sikker på hva neste video burde være. Disse bevisene kan være kortsiktige mål som gir en pekepinn for hvor det gir mening å fortsette.