a-b=-(b-a) bevis

[tongatong offline]

Hei. Noen som har beviset for a-b=-(b-a)? takk!

[DennisChristensen]

Hei. Noen som har beviset for a-b=-(b-a)? takk!

Den enkleste metoden er vel å bevise at $(-1)\cdot x = -x$ for alle $x$ og så bruke (blant annet) den distributive loven på $(-1)\cdot (b-a)$. For å gjøre dette trenger vi noen mellomtrinn.

Trinn 1: $0\cdot 0 = 0$.
Bevis:

[+] Skjult tekst

$$\begin{align*}
0\cdot 0 & = 0\cdot 0 + 0 && [\mbox{additiv identitet}] \\
& = 0\cdot 0 + 0\cdot 1 && [\mbox{multiplikativ identitet}] \\
& = 0\cdot\left(0 + 1\right) && [\mbox{distributiv lov}] \\
& = 0\cdot\left(1 + 0\right) && [\mbox{kommutativ addisjon}] \\
& = 0\cdot 1 && [\mbox{additiv identitet}] \\
& = 0. && [\mbox{multiplikativ identitet}].
\end{align*}$$

Trinn 2: $\forall x, x\cdot 0 = 0$.
Bevis:

[+] Skjult tekst

$$\begin{align*}
x\cdot 0 & = 0\cdot x && [\mbox{kommutativ multiplikasjon}] \\
& = 0\cdot x + 0 && [\mbox{additiv identitet}] \\
& = 0\cdot x + (-x)\cdot 0 && [\mbox{multiplikativ identitet}] \\
& = 0\cdot x + 0\cdot (-x) && [\mbox{kommutativ multiplikasjon}] \\
& = 0\cdot (x + (-x)) && [\mbox{distributiv lov}] \\
& = 0\cdot 0 && [\mbox{additiv invers}] \\
& = 0. && [\mbox{Trinn 1}]\end{align*}$$

Trinn 3: Gitt $x$, er dens additive invers $-x$ unik.
Bevis:

[+] Skjult tekst

Anta at både $y, z$ er additiv invers til $x$. Da har vi at
$$\begin{align*}
y & = y + 0 && [\mbox{additiv identitet}] \\
& = y + (x + z) && [\mbox{additiv invers}] \\
& = (y + x) + z && [\mbox{assosiativ addisjon}] \\
& = (x + y) + z && [\mbox{kommutativ addisjon}] \\
& = 0 + z && [\mbox{additiv invers}] \\
& = z + 0 && [\mbox{kommutativ addisjon}] \\
& = z, && [\mbox{additiv identitet}]
\end{align*}$$
så $y=z$, hvilket beviser at den additive inversen er unik.

Trinn 4: $(-1)\cdot x = -x$.
Bevis:

[+] Skjult tekst

Fra trinn 3 vet vi at det holder å vise at $x + (-1)\cdot x = 0$. Nå,
$$\begin{align*}
x + (-1)\cdot x & = x + x\cdot (-1) && [\mbox{kommutativ multiplikasjon}] \\
& = x\cdot 1 + x\cdot (-1) && [\mbox{multiplikativ identitet}] \\
& = x\cdot (1 + (-1)) && [\mbox{distributiv lov}] \\
& = x\cdot 0 && [\mbox{additiv invers}] \\
& = 0. && [\mbox{Trinn 2}]
\end{align*}$$

[jos offline]

typo: I trinn 2 skal det vel stå (for alle x) x*0 =0

[DennisChristensen]

typo: I trinn 2 skal det vel stå (for alle x) x*0 =0

Rettet nå.