matematikk.net

Har hjulpet en kamerat med en fysikkinnlevering. Nå er løsningsforslaget kommet, og jeg ser vi har gjort den ene oppgaven feil.

5. A mass $m$ on a horizontal surface is attached to a massless, ideal spring (spring constant $k$).
First, assume a frictionless surface:
a)
If the mass is given an initial velocity $v_0$ at $x=0$, at what rightward displacement $x$ has the mass's speed $v$ decreased to $\frac{1}{3}v_0$?

Now, suppose that the surface does have some kinetic friction:
b)
Suppose the mass is again given an initial velocity of $v_0$ at $x=0$. The mass reaches a maximum rightward displacement $d$ before (momentarily) stopping and turning around. Find an expression for the fraction of the system's initial mechanical energy that is lost to friction during the mass's rightward motion.

Show your work. Express your final answer...
* ONLY in terms of variables $m$, $k$, $v_0$, $d$, and mathematical constants
* in SIMPLEST algebraic fom
* with mathematical constants expressed EITHER as simplified pure rational numbers OR as decimal values with three significant figures

På a) fikk vi svaret $x = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot v_0 \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$, mens fasiten fikk $x_f = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2m}{k}} v_0$. Så den er jo grei,

Men på b) har vi feil. Fasit sier følgende:

Initial energy (at $x=0$):
$E_{\textrm{init}} = \frac{1}{2}mv^2$
Final energy (at $x=d$):
$E_{\textrm{final}} = \frac{1}{2}kd^2$

Fraction of initial energy lost:
$\frac{\Delta E}{E_{\textrm{init}}} = \frac{E_f - E_i}{E_i} = \frac{\frac{1}{2}kd^2 - \frac{1}{2}mv_0^2}{\frac{1}{2}mv_0^2} = \frac{kd^2 - mv_0^2}{mv_0^2}$

Mens vi gjorde dette:

Start:
$E_{\textrm{total}} = E_k = \frac{1}{2}mv^2$

Slutt:
$E_{\textrm{total}} = E_p = \frac{1}{2}kd^2$

Det vil si at på slutten sitter vi igjen med en andel som tilsvarer $\frac{E_p}{E_k}$.

Det betyr at vi har mistet $1 - \frac{E_p}{E_k}$.

Det vi har mistet delt på den opprinnelige energien:
$\frac{1 - \frac{E_p}{E_k}}{E_k}$

Enkel algebra, så får vi: $\frac{\frac{E_k - E_p}{E_k}}{E_k} = \frac{E_k - E_p}{E_k^2}$

Setter inn for $E_p$ og $E_k$:
$\frac{E_k - E_p}{E_k^2} = \frac{\frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{1}{2}kd^2}{\frac{1}{4}m^2v_0^4} = \underline{\underline{\frac{2\left(mv_0^2 - kd^2\right)}{m^2v_0^4}}}$

Jeg henger selvfølgelig med på fasit, men jeg klarer ikke å se hvor vi har gjort feil selv. Noen som kan hjelpe?

Hei, jeg er ingen ekspert, men jeg tror du har regnet riktig. Det jeg tror er feilen er andelantagelsen:

- Sett at E(før) = 5 og E(etter) = 1, blir andelen: 1/5 = 0.2

1 - 0.2 = 0.8 som er tapet i "andel", men andelen av hva?

Så finner du tapet i andel/Opprinnelig
0.8/5 = 0.16

Gjør du den på den andre måten som fasiten viser får du:

(5-1)/5= 4/5 = 0.8

Problemet tror jeg oppstår ved at du sier Ep/Ek = andelen, men tar ikke med hva det er andelen av:

Eks: Hvis Ep = 1, og Ek = 5 så er andelen du har funnet (1/5) multiplisert med hva det er andel av = 5. Dette vil gi 1.

[tex]\frac{Ep}{Ek}=x \Rightarrow Ek \cdot x = Ep[/tex]

Multipliserer du med Ek i den siste ligningen får riktig svar,

Tanken var at det var andelen av det originale, altså andelen av $E_k$. Det er vel kanskje det som er feilen, at jeg senere deler på $E_k$ enda en gang... Takk!