Mattebok etter R2?

[Nibiru]

Hei, jeg er ferdig med R2 og har tenkt å gjøre litt matte utover i sommeren. Ikke noe intensiv jobbing, bare ønsker å fortsette litt med matte, før jeg begynner på sivilingeniørutdanning på NTNU.

Jeg har "Kalkulus" av Tom Lindstrøm (3.utgave) og lurer på om det er den boka jeg bør satse på? Men den ser ut litt for omfattende. Bør jeg droppe noen kapitel? Eller bør jeg følge noe forkortet opplegget som har blitt foreslått av forfatteren på s.8? (2.1 Mengder, intervaller og tallverdier > 2.3 Kompletthet av de reelle tallene > 4.3 Konvergens av følger > 5 Kontinuerlige funksjoner > 6 Deriverbare funksjoner > 7 Anvendelser og utvidelser > 8 Integrasjon > 9 Integrasjonsteknikk). Eller bør jeg rett og slett følge kapitel for kapitel?

Kanskje finnes det noen andre bøker som passer meg? På engelsk for eksempel. Noen forslag?

[Kork]

Jeg vil anbefale å gå lese om logikk og bevis, det er mye gøyere å lese kalkulus når man forstår bevisene Jeg hadde bare kalkulus som mattefag første semester, så neste semester fikk vi en grundig gjennomgang av logikk og bevisteknikker. Burde vært omvendt, da det jeg hadde fra R2 om bevis var alt for tynt.

[Nibiru]

Ok, skal se på det. Takk for svar.

[espen180]

Vil du ha et forsprang på universitetsmatten, eller vil du ha en mer avslappet bok?
Hvis det første, så er nok Lindstrøm midt i blinken for deg. Hvis det andre, ta en titt på "Basic Mathematics" av Serge Lang.
http://www.amazon.com/Basic-Mathematics ... 0387967877
Jeg pleier å anbefale denne til ungdomsskoleelever og videregåendeelever som vil ha en smak av hvordan ordentlig matte ser ut. Hvis den ikke ser altfor lett ut for deg, kan du jo prøve den. Hvis en er for lett, kan det hende du bør lese Lindstrøm likevel.

[Johan Nes]

Du kan se tråden min under "Høyskole og Universitet".

Jeg fikk anbefalt å gå gjennom Preliminaries-seksjonen i Calculus av Adams. Denne er pensum på UIB og er visst også anbefalt som støttelitteratur på UIO i kursene som bruker Kalkulus av Lindstrøm.

Eventuelt kan du jo finne ut hva som er pensum der du begynner og begynne å bla litt i de bøkene. Selv er jeg busy med 1T, R1 og R2 i sommer, da jeg ikke føler meg helt stabil der.

[Steinbiten]

Hvilken siving. linje er det du skal begynne på til høsten?
Tenkte selv å gjøre som Johan, har fått tak i calculus boken til adams og tenker jeg skal jobbe meg gjennom preliminaries delen først og fremst. Merker at den delen egentlig går ganske greit så hvis jeg har tid til overs tenker jeg å gjøre som kork anbefaler og sjekke ut bevis og logistikk etterpå. Merker spesielt at en kan lære ganske mye av å gjøre bevisoppgaver.

[mattemonsteret]

Mitt tips er boken Klassisk analyse og lineær algebra, av Arne Hole. Hole dekker det meste du vanligvis lærer i løpet av første året på universitetet, på relativt få sider. Denne boken er etter min mening ett gullkorn - hvorfor lese 2000 sider når du kan lese bare 500? Selvsagt kan f.eks. Lindstrøms Kalkulus gå mer i dybden, men for å få en grei oversikt og komme forberedt til studiene syns jeg Hole er best.
http://www.bokklubben.no/SamboWeb/produ ... tId=102223

En annen mulighet er Introduction to Mathematical Thinking, av Keith Devlin. Denne boken dekker på en måte ikke mye faglig innhold, men handler om å tenke logisk og å føre bevis.
http://www.amazon.com/Introduction-Math ... 0615653634

Lykke til

[003]

Vil du ha et forsprang på universitetsmatten, eller vil du ha en mer avslappet bok?
Hvis det første, så er nok Lindstrøm midt i blinken for deg. Hvis det andre, ta en titt på "Basic Mathematics" av Serge Lang.
http://www.amazon.com/Basic-Mathematics ... 0387967877
Jeg pleier å anbefale denne til ungdomsskoleelever og videregåendeelever som vil ha en smak av hvordan ordentlig matte ser ut. Hvis den ikke ser altfor lett ut for deg, kan du jo prøve den. Hvis en er for lett, kan det hende du bør lese Lindstrøm likevel.

Hei, har lest litt rundt på forumet og forstått det slik at det beste er å få på plass alt det fundamentale og bygge på det. Og så er jeg jo interessert i å vite det som er å vite helt opp til ingeniørnivået, som er mitt mål i det fjerne. Planen er å tilegne meg hele pensumet til forkurset før jeg begynner på det, så får det ta den tiden det tar. Derfor har jeg laget en liste over bøker jeg skal bestille til uka. Det er "Hva er matematikk?" av Lisa Lorentzen, forhåpentligvis for å få en bedre forståelse av matematisk tankegang. Så er det "Grunnleggende matematikk i skoleperspektiv" av Arne Hole. Så lurer jeg på om jeg skal legge til "Basic mathematics" som du anbefalte. Har du noen erfaringer med de andre bøkene jeg nevnte? Lurte på om det er en fin overgang fra disse bøkene til "Kalkulus" av Tom Lindstrøm, eller om det er noen andre bøker du anbefaler i mellom?

Synes bøker som Sigma og Sinus osv. er fine å ha for å følge pensum og for å løse oppgaver, men har problemer med forståelsen, eller jeg vet ikke helt hva som menes med å forstå. Menes det at man klart ser for seg de matematiske uttrykkene mentalt? Slik som man lærer på skolen for å ta et enkelt eksempel, "minus ganger minus blir pluss". Det ser jeg ikke er forståelse. Jeg vet at det blir pluss, fordi man leser det som "minus gjeld". Ikke at jeg foreløpig har lagt så mye arbeid i å forstå akkurat dette, men hva tenker dere når dere ser at det blir pluss? Vet dere det fra før av og bare ser to minustegn og regner ut, eller "ser" dere på en måte bevisene for det hver gang? Eller hvordan vil dere forklare det, spesielt på de mer kompliserte eksemplene som derivasjon og integrasjon?

[Aleks855]

Vil du ha et forsprang på universitetsmatten, eller vil du ha en mer avslappet bok?
Hvis det første, så er nok Lindstrøm midt i blinken for deg. Hvis det andre, ta en titt på "Basic Mathematics" av Serge Lang.
http://www.amazon.com/Basic-Mathematics ... 0387967877
Jeg pleier å anbefale denne til ungdomsskoleelever og videregåendeelever som vil ha en smak av hvordan ordentlig matte ser ut. Hvis den ikke ser altfor lett ut for deg, kan du jo prøve den. Hvis en er for lett, kan det hende du bør lese Lindstrøm likevel.

Hei, har lest litt rundt på forumet og forstått det slik at det beste er å få på plass alt det fundamentale og bygge på det. Og så er jeg jo interessert i å vite det som er å vite helt opp til ingeniørnivået, som er mitt mål i det fjerne. Planen er å tilegne meg hele pensumet til forkurset før jeg begynner på det, så får det ta den tiden det tar. Derfor har jeg laget en liste over bøker jeg skal bestille til uka. Det er "Hva er matematikk?" av Lisa Lorentzen, forhåpentligvis for å få en bedre forståelse av matematisk tankegang. Så er det "Grunnleggende matematikk i skoleperspektiv" av Arne Hole. Så lurer jeg på om jeg skal legge til "Basic mathematics" som du anbefalte. Har du noen erfaringer med de andre bøkene jeg nevnte? Lurte på om det er en fin overgang fra disse bøkene til "Kalkulus" av Tom Lindstrøm, eller om det er noen andre bøker du anbefaler i mellom?

Synes bøker som Sigma og Sinus osv. er fine å ha for å følge pensum og for å løse oppgaver, men har problemer med forståelsen, eller jeg vet ikke helt hva som menes med å forstå. Menes det at man klart ser for seg de matematiske uttrykkene mentalt? Slik som man lærer på skolen for å ta et enkelt eksempel, "minus ganger minus blir pluss". Det ser jeg ikke er forståelse. Jeg vet at det blir pluss, fordi man leser det som "minus gjeld". Ikke at jeg foreløpig har lagt så mye arbeid i å forstå akkurat dette, men hva tenker dere når dere ser at det blir pluss? Vet dere det fra før av og bare ser to minustegn og regner ut, eller "ser" dere på en måte bevisene for det hver gang? Eller hvordan vil dere forklare det, spesielt på de mer kompliserte eksemplene som derivasjon og integrasjon?

Jeg synes du tar opp et meget viktig punkt. Det er faktisk veldig få som forstår hvorfor $\displaystyle (-1)\cdot(-1)=1$ og det er ikke noe som undervises på høyere nivå, fordi alle skal bare vite det.

Hvis du er ute etter å forstå dette, så starter man med å se på subtraksjon som bare addisjon. Det er jo det det er. $\displaystyle 2-2 = 2+(-2) = 0$. Altså en subtraksjon ER bare en addisjon, men med negativt tall.

Så vet du sannsynligvis hva multiplikasjon er. Det er bare gjentatt addisjon. Altså $\displaystyle 2+2+2+2+2 = 2\cdot5$. Slik har vi definert multiplikasjon. Vel, hvis vi nå introduserer et negativt tall, og vil multiplisere $\displaystyle (-2) \cdot 5$ så vil det per definisjon bare bli å addere (-2) fem ganger. $\displaystyle (-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2) = -2-2-2-2-2= (-2)\cdot 5 = -10$. Igjen, dette er bare repetetiv addisjon.

Dette kan vi utvide videre til to negative tall.

Har vi $\displaystyle (-2)\cdot(-5)$ så ser vi at -5 forteller oss at vi skal subtrahere noe 5 ganger. Og hva skal vi subtrahere? Det er (-2).

$\displaystyle -(-2)-(-2)-(-2)-(-2)-(-2)$. Herfra lener vi oss på at å subtrahere et negativt tall er det samme som å addere, slik at vi får $\displaystyle (-2)\cdot(-5)= 2+2+2+2+2 = 10$ som riktignok er positivt.

Hvis man ikke er helt på bølgelengde med at å subtrahere et negativt tall blir å addere den positive, så er det noe som må bygges under. Som du sier, på forumet her så legger vi vekt på at vi mestrer et konsept før vi bygger videre på det.

Og bare for å kjapt gjennomgå det i tilfelle det ikke er intuitivt at $\displaystyle 0-(-2) = 0+2 = 2$ så ser vi på det som at når vi har $\displaystyle x-x$ så skal dette alltid bli 0, fordi hvis du har en verdi, og du trekker fra den nøyaktige verdien, så skal du ha 0 igjen.

Så hvis du har (-2)kr. (som du har lært å se på som gjeld, og det er et fint eksempel), så vil jeg prøve å hjelpe deg, og sørge for at du ikke står i gjeld. Jeg vil med andre ord hjelpe deg å få 0. Så jeg gir deg $\displaystyle -(-2)$kr. Hvorfor? Fordi $\displaystyle x-x=0$ som betyr at $\displaystyle (-2)-(-2) = 0$. Men vi vet at i realiteten så er dette det samme som at jeg gir deg 2kr. Altså addisjon av positivt tall. Herfra ser vi overgangen fra dobbel negativ til positiv, sant?

Samtidig vet vi at det å addere et tall med sin egen negativ også blir 0. Så vi vet at $\displaystyle 2+(-2)=0$ eller at $\displaystyle (-2)+2=0$ (fordi 2 er den negative av -2). Derfra ser man at $\displaystyle (-2)-(-2) = (-2)+2=0$

Når det gjelder hvorvidt man tenker slik hver gang? Jeg gjør ikke det. Jeg ser dobbel negativ, og tenker positiv. Jeg går ikke gjennom hele denne tankeprosessen hver gang. Det er fordi denne tankeprosessen bygger på enda mer matematikk, og slike konsepter er bygd på ideen om at matematikk skal være konsekvent, altså at dette skal gjelde FORDI vi vet av et enklere konsept.

Når det gjelder derivasjon og integrasjon, så er det også eksempler på ting som bygger på tidligere kunnskap. Har et prinsipielt "bevis" for derivasjon her: http://udl.no/matematikk/kalkulus/deriv ... ivasjon-53

Hovedsaklig så bygger det bare på det man allerede skal vite om stigningstallet til rette linjer, så utvider man det til å gjelde også for kurver.

Når det gjelder integrasjon, så har jeg ikke fått fingeren ut av ræva enda, men det kommer vel en dag det også

Og ja, det å lære seg konsepter på denne måten, altså å forstå hvor slike ting kommer fra, gir deg en enorm fordel i ingeniørstudier. (Kilde: Jeg er ingeniørstudent.) Matematikk er überviktig i alle grener av ingeniørstudier. Også på høyskolen/universitet får man slengt formlene i trynet og blir bedt om å bare ta dem i bruk. Ofte fordi læreren ikke har tid til å gjennomgå bevisene (stort pensum, lite tid), eller fordi læreren ikke føler at elevene får noe ut av det (fordi de muligens ikke har grunnlaget), eller fordi læreren selv ikke er helt stødig på beviset.

[espen180]

Hei, har lest litt rundt på forumet og forstått det slik at det beste er å få på plass alt det fundamentale og bygge på det. Og så er jeg jo interessert i å vite det som er å vite helt opp til ingeniørnivået, som er mitt mål i det fjerne. Planen er å tilegne meg hele pensumet til forkurset før jeg begynner på det, så får det ta den tiden det tar. Derfor har jeg laget en liste over bøker jeg skal bestille til uka. Det er "Hva er matematikk?" av Lisa Lorentzen, forhåpentligvis for å få en bedre forståelse av matematisk tankegang. Så er det "Grunnleggende matematikk i skoleperspektiv" av Arne Hole. Så lurer jeg på om jeg skal legge til "Basic mathematics" som du anbefalte. Har du noen erfaringer med de andre bøkene jeg nevnte? Lurte på om det er en fin overgang fra disse bøkene til "Kalkulus" av Tom Lindstrøm, eller om det er noen andre bøker du anbefaler i mellom?

Jeg har ikke lest bøkene, men fra det jeg fant ved et kjapt google-søk, ser de fine ut.

Synes bøker som Sigma og Sinus osv. er fine å ha for å følge pensum og for å løse oppgaver, men har problemer med forståelsen, eller jeg vet ikke helt hva som menes med å forstå. Menes det at man klart ser for seg de matematiske uttrykkene mentalt? Slik som man lærer på skolen for å ta et enkelt eksempel, "minus ganger minus blir pluss". Det ser jeg ikke er forståelse. Jeg vet at det blir pluss, fordi man leser det som "minus gjeld". Ikke at jeg foreløpig har lagt så mye arbeid i å forstå akkurat dette, men hva tenker dere når dere ser at det blir pluss? Vet dere det fra før av og bare ser to minustegn og regner ut, eller "ser" dere på en måte bevisene for det hver gang? Eller hvordan vil dere forklare det, spesielt på de mer kompliserte eksemplene som derivasjon og integrasjon?

Her er et fint bevis, som har samme smak som bevis i høyere matematikk. Men før jeg gir det, la meg repetere definisjonen av minus.
Til ethvert fall $x$ finnes et annet tall $y$ slik at $x+y=y+x=0$. Vi kaller $y$ den additive inversen til $x$.

La oss først bevise at $y$ er unikt bestemt av definisjonen.
For anta at vi har to inverser av $x$, kall dem $y$ og $z$. Da har vi $x+y=0=x+z$. Vi legger til $y$ på hver side: $y+(x+y)=(y+x)+z$. Men $x+y=y+x=0$, så $y=z$.

Så inversen er unik. La oss derfor innføre notasjonen $y=-x$.

Det naturlige spørsmålet er nå: hva er $-(-x)$ ? Det er per definisjon et tall $w$ slik at $(-x)+w=w+(-x)=0$. Men $x$ oppfyller jo selv denne egenskapen, og siden inverser er unike, har vi derfor bevist at $-(-x)=x$ for alle tall $x$.

[003]

Takk for to utfyllende svar!

Det jeg ikke helt forstår er hvor tallet 0 kommer fra. Er det slik at man alltid tar utgangspunkt i det og derfor skriver dere inn 0 som verken er pluss eller minus? For [tex]x + y = y + x = 0[/tex] og det er beviset for minus i seg selv? Hva er invers? Er additiv invers minus? Eller betyr det bare at rekkefølgen ikke betyr noe?

Har også sett de nevnt mange steder dette med intuitiv forståelse, hva menes med det? Har virkelig fått opp interessen for faget, har innsett at jeg tidligere har vært ekstremt overfladisk, så beklager hvis jeg spør dumt. Er det mye beviser på ingeniørstudiene? Uavhengig, det er hvertfall bevisene jeg burde se på for å oppnå forståelse?

[espen180]

Det jeg ikke helt forstår er hvor tallet 0 kommer fra. Er det slik at man alltid tar utgangspunkt i det og derfor skriver dere inn 0 som verken er pluss eller minus? For [tex]x + y = y + x = 0[/tex] og det er beviset for minus i seg selv? Hva er invers? Er additiv invers minus? Eller betyr det bare at rekkefølgen ikke betyr noe?

$0$ kommer naturlig inn i bildet fordi det er identiteten til addisjon. $x+0=x$ for alle $x$. Grunnen til at jeg bemerker at $x+y=y+x=0$ for additiv invers (som er minus, ja) er litt dypere, og kommer fra studiet av binære operasjoner som ikke trenger å være kommutative. For to tall er alltid $x+y=y+x$ da, så informasjonen er overflødig her.

For å få en mer generell innføring kan du lese denne wikiboken jeg skrev en gang. Påstanden "minus minus blir pluss" over er essensiellt Corollary 7 der. Stoffet kan virke litt vanskelig, men hvis du klarer å lese dette, har du lært en del nyttig matematikk.
http://en.wikibooks.org/wiki/Abstract_A ... eory/Group

Har også sett de nevnt mange steder dette med intuitiv forståelse, hva menes med det? Har virkelig fått opp interessen for faget, har innsett at jeg tidligere har vært ekstremt overfladisk, så beklager hvis jeg spør dumt. Er det mye beviser på ingeniørstudiene? Uavhengig, det er hvertfall bevisene jeg burde se på for å oppnå forståelse?

Intuisjon vil si å kunne gjøre vurderinger på grunnlag av erfaring. Det er veldig vagt, men men.
Jeg går ikke ingeniørstudium, så jeg kan ikke kommentere på bevismengden (jeg tror det er så godt som ingen bevis), men jeg vil si at med mindre du er i stand til i hvert fall å si en skisse av et bevis for en påstand, der vi tillater litt håndvifting, har du ikke forstått stoffet.
Klart, du behøver ikke å kunne beviset for å bruke påstanden, men da er det jo snakk om blind tillit. Du kommer ikke til å ha snøring på hvorfor påstanden gjelder. Matematiske påstander er av formen: "Hvis betingelsene x, y og z er innfridd, så gjelder følgende...". Hvis du ikke har sett beviset, vil du ikke ane hvorfor x,y og z er nødvendige, eller hvorfor påstanden ikke gjelder når én av dem svekkes.

[003]

Morro, brukte en del tid på å klare å lese beviset, men

Men i jakten på å forstå dette fant jeg faktisk bøkene jeg nevnte over pluss en annen som heter "Klassisk analyse og lineær algebra" av Arne Hole, gratis. Ikke de reviderte utgavene akkurat, men man finner de på bokhylla.no, det digitale Nasjonalbiblioteket, hvis noen andre er interessert.

Grunnleggende matematikk, Arne Hole:
http://www.nb.no/nbsok/nb/bd91582604734 ... ?index=0#0

Klassisk analyse og lineær algebra, Arne Hole:
http://www.nb.no/nbsok/nb/fb841e5a5cefe ... ?index=0#0

Og så var jo Kalkulus-bøkene der også:

Kalkulus, Tom Lindstrøm:
http://www.nb.no/nbsok/nb/bd2f1366a6ad9 ... ?index=0#0
(Kalkulus bind 1:

Kalkulus studiebok, Arne Hole:
http://www.nb.no/nbsok/nb/a14db25f9d37e ... ?index=1#0

Kompletthet og kontinuitet:om grunnlaget for differensial- og integralregningen, Tom Lindstrøm:
http://www.nb.no/nbsok/nb/5d79791a7ebbc ... ?index=4#0

[Vaktmester]

Wow. For en fantastisk ressurs. Må innrømme at jeg ikke liker brukergrensesnittet til NB, men det er utrolig bra at slike bøker er tilgjengelige på nettet. Ser til og med ut som om det er mulig å lenke til sider i bøkene...

[espen180]

Hmm. Jeg klarer ikke å bruke nb's sider. Noe med ukompatible krypteringsalgoritmer... Kanskje et nettleserproblem.