matematikk.net

Gitt et vilkåring tredjegradspolynom-ligning. Den kan alltid omformes til [tex]x^3+bx^2+cx+d=0[/tex].

Om vi setter [tex]y=x+\frac{b}{3}[/tex], får vi følgende:

[tex]x^3=y^3-by^2+\frac{1}{3}b^2y-\frac{1}{27}b^3[/tex] og
[tex]bx^2 = by^2-\frac{2}{3}b^2y+\frac{1}{9}b^3[/tex] og
[tex]cx=cy-\frac{1}{3}bc[/tex].

Dermed har vi at:

[tex]x^3+bx^2+cx+d=y^3+(b-b)y^2+(\frac{1}{3}b^2-\frac{2}{3}b^2+c)y-\frac{1}{27}b^3+\frac{1}{9}b^2-\frac{1}{3}bc+d[/tex]

Så en annen versjon av ligningen uten andregradsleddet vil være:

[tex]y^3+(c-\frac{1}{3}b^2)y+\frac{2}{27}b^3-\frac{1}{3}bc +d= 0[/tex]

Vet ikke om det er så veldig nyttig, men det er litt kult... at man kan manipulere vekk andregradsleddet! Fant dette i "Matematikkens Historie 2" forøvrig.

Det blir brukt til å finne en generell løsning av 3.gradslikninger, som så blir brukt til å finne en generell løsning av 4.gradslikninger.

Slike teknikker finnes overalt, og også i langt mer trivielle eksempler. For andregradsligninger kan man f.eks kvitte seg med førstegradleddet slik:

[tex]x^2+ax+b=0[/tex]
[tex](x-\frac{a}{2})^2+(b-(\frac{a}{2})^2)=0[/tex]
[tex]y^2+c=0[/tex]
der altså
[tex]y=x-\frac{a}{2}[/tex] og [tex]c=b-(\frac{a}{2})^2[/tex]