Irrasjonale tall.

[Charlatan]

Hei, har bare noen spørsmål:

Jeg er ikke sikker på om det skrives irrasjonalt, eller irrasjonelt, men dere vet hva jeg mener:

Et rasjonalt tall som kan skrives som heltallsbrøker. Men er 1/3 er rasjonalt tall, eller et irrasjonalt tall? Hva må til for at et tall er irrasjonalt? kvadratroten av 2 for eksempel irrasjonal, og [symbol:pi] er irrasjonal. Men disse er vel irrasjonale i forskjellige "grader" med det at [symbol:pi] ikke kan skrives algebraisk. Er tall delt inn på denne måten?

[Magnus]

Et rasjonalt tall som kan skrives som heltallsbrøker.

Du besvarer vel ditt eget spørsmål der?

[Charlatan]

vel.. jeg tenkte siden at siden det ikke kan skrives som desimaltall....

[sEirik]

Et rasjonalt tall trenger ikke nødvendigvis å kunne skrives som et desimaltall.

F.eks. er 1/3 = 0.333... et rasjonalt tall, selv om det skrevet med desimaler vil være uendelig langt. Derimot vil det for alle rasjonale tall eksistere en sekvens med desimaler som gjentar seg i desimaltallet. F.eks. er

1 / 13 = 0.076923076923...

Ser du et mønster der?

[Charlatan]

takk for svar, det var det jeg lurte på, var ikke helt sikker på definisjonen av irrasjonelle tall. men kvadratroten av 2 har vel også et mønster i sin desimaltallrekke, har den ikke? Så hva er er nødvendig for at et tall er irrasjonelt?

[EivindL]

[symbol:rot] 2 har ikke noe mønster, nei. Et tall er irrasjonalt hvis det ikke kan skrives som en brøk, noe [symbol:rot] 2 ikke kan. Det kan du prøve å bevise.

[Charlatan]

Ja ok, så det er definisjonen av et irrasjonelt tall. Takk. Ja, jeg har gjort den oppgaven i å bevise at [symbol:rot]2 er irrasjonelt.

Men jeg mener å ha hørt at [symbol:rot]2 har et mønster ute i desimaltallrekken.

takk.

[EivindL]

Ikke noe regelmessig mønster, da kunne man jo skrevet det som et rasjonalt tall. Det er jo klart at det ikke har noe regelmessig mønster når du har bevist at det ikke har det.

[Charlatan]

okey, takk for infoen. Jeg synes det står veldig lite om irrasjonelle tall i boka.

[EivindL]

Bruk nettet, wikipedia og wolfram.

[sEirik]

Det går vel også an å bevise at hvis et tall har et slikt regelmessig mønster i desimalutviklinga, så er det et rasjonalt tall.

Vi kan vise dette for ett eksempel, [tex]x = 1.45364364364...[/tex]. Vi ser at tallet først har noen desimaler etter komma, og så går inn i et fast mønster, en gjentakelse av 364.

Vi skal multiplisere med [tex]10^n[/tex] for en n som gjør at vi kan bruke et triks.

Multipliserer med 1000 på begge sider.

[tex]1000 x = 1453.64364364...[/tex]

Så til trikset, vi trekker fra x på begge sider.

[tex]999x = 1453.64364364... - 1.45364364... = 1453.64 - 1.45 = 1452.19[/tex]

Siden vi vil ha hele tall, multipliserer vi med 100 på begge sider.

[tex]99900x = 145219[/tex]

[tex]x = \frac{145219}{99900}[/tex]

Vi har vist at x er et rasjonalt tall, siden det kan skrives som en brøk med hele tall i teller og nevner.

For en kjapp kontroll kan vi trykke 145219/99900 på kalkulatoren for å se at vi får denne desimalutviklinga.

[Charlatan]

Wow, pent og genialt.

Takk, dette får man jo virkelig bruk for.

[ingentingg]

Det er ganske nyttig ja. Du kan jo prøve å vise at:
1 = 0.99999999.....

[Charlatan]

x=0.999999999...
1000x=999.999999...
999x=999
x=1

fantastisk metode, hvorfor lærer vi den ikke på skolen.
Holder vel strengt tatt å gange med 10 her da...

[sEirik]

Hvis alle hadde lært den på skolen, så kunne du ikke gått rundt og visst at du kunne noe som ikke alle andre kunne

Stort sett er det nok å gange med [tex]10^n[/tex] der n er antall desimaler i mønster. I 0.999... er det jo bare en desimal i sekvensen som blir gjentatt, så det er nok å multiplisere med [tex]10^1[/tex].