Tropisk geometri

[Emilga]

Kanskje det er fordi det er litt sent på kvelden at jeg ikke skjønner dette.
Ærlig talt; 3 + 2 = 3 og 3 * 2 = 5?

Kan noen forklare?

[mrcreosote]

Det er ikke så vanskelig, man har bare definert to nye operasjoner for det vi kaller pluss og gange:

[tex]x\oplus y = \max\{x,y\} \\ x\odot y = x+y[/tex]

Altså: Summen av to tall det største av talla, og produktet er det vi vanligvis kaller pluss. Da ser du sikkert at regnestykkene dine stemmer også. (Noen bruker min istedenfor max.)

Noen oppgaver:
Hva kan grunnen til at man ikke bare har bytta gangeoperasjonen med maximumsfunksjonen være, får man ikke akkurat det samme da?

Beregn [tex](x\oplus y)^n[/tex].

[Mayhassen]

Spesielle greier ja! Ta det med ro, snart skal jeg utvide mitt tallsystem slik at det er lov til å dele på 0 slik at matematikken blir enda lettere!

Beregn [tex](x\oplus y)^n[/tex]

Hvis man skal følge de reglene og den notasjonen du bruker ville jeg tro det ble noe som [tex](x\oplus y)^n=n\cdot maks\{x,y\}[/tex] Hvis det er tropisk opphøyd da hehe

[daofeishi]

Grunnen til at det er slik operasjonene er definert har vel med hvordan operatorene fungerer med respekt til hverandre.

Vi ser f.eks. at
[tex]a \odot (b \oplus c) = a + \max(b, c) = \max(a+b,a+c) = (a \odot b) \oplus (a \odot c)[/tex]
saa den distibutive loven fungerer paa de tropiske operasjonene, slik vi er vant til det fra vanlig algebra - multiplikasjon distribuerer over addisjon.

[mrcreosote]

Stemmer begge deler. Den første er et eksempel på at "freshman exponentiation" funker: [tex](x\oplus y)^n = x^n\oplus y^n[/tex].

Såvidt jeg har skjønt tegner man grafen til et funksjon, si [tex]x\oplus y\oplus 0[/tex] i planet ved at et punkt er på grafen om maksimum av x, y og 0 oppnås i minst 2 punkter. For eksempel vil (-5,0) være med, men ikke (5,0). Prøv å tegne hele grafen til denne funksjonen!

[Mayhassen]

Skjønte ikke helt hva du mente her. Når jeg skal tegne funksjonen fatter jeg lissom ikke hvilke verdier man skal bruke og hvordan tolke dette på arket mitt.

Ettersom jeg leste skulle dette bli en graf med rette streker både hit og dit?

Hvis det er hele tiden snakk om en maksverdi av variablene er det vel hele tiden den variabelen som er størst som vil vinne. Uten at jeg vet noe som helst ville jeg nesten tro at det finnes uendelig mange punkter på hele planet. Velger man x=5 og y=7 så er jo svaret 7, men i forhold til hva/hvem/hvor akse?

[sEirik]

Vi kan jo ha som oppgave å vise hvilke aksiomer som blir oppfylt!

Hvis vi lar [tex]\oplus[/tex] og [tex]\otimes[/tex] være definert på mengden I, og da kan I for eksempel være [tex]{\mathbb N}[/tex] eller [tex]{\mathbb R}[/tex]. Kanskje også [tex]{\mathbb C}[/tex] hvis en lar størrelsen på et komplekst tall tilsvare absoluttverdien?

I hvert fall, oppgaven er: Hvilke av disse aksiomene er oppfylt? Og vis hvorfor/hvorfor ikke.

1) Kommutative lover:
For alle [tex]x,y \in I[/tex] er [tex]x \oplus y = y \oplus x[/tex] og [tex]x \odot y = y \odot x[/tex]

2) Assosiative lover:
For alle [tex]x,y,z \in I[/tex] er [tex](x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)[/tex] og [tex](x \odot y) \odot z = x \odot (y \odot z)[/tex]

3) Distributiv lov:
For alle [tex]x,y,z \in I[/tex] er [tex]x \odot (y \oplus z) = x \odot y \oplus x \odot z[/tex]

4) Null- og enhetselement:
Det finnes to elementer 0 og 1 i [tex]I[/tex] slik at [tex]x \oplus 0 = x[/tex] og [tex]x \odot 1 = x[/tex] for alle [tex]x \in I[/tex]

5) Motsatte tall:
For ethvert tall [tex]x \in I[/tex] finnes det et tall [tex]y \in I[/tex] slik at [tex]x \oplus y = 0[/tex]. (Der 0 er nullelementet fra aksiom 4)

6) Inverse tall:
For ethvert tall [tex]x \in I[/tex], [tex]x \not = 0[/tex], finnes det et tall [tex]z \in I[/tex] slik at [tex]x \odot z = 1[/tex]. (Der 1 er enhetselementet fra aksiom 4)

[daofeishi]

Etter det (veldig lille) jeg forstod fra arXiv-preprints, er den underliggende mengden [tex]\mathbb{R} \cup \{ -\infty \}[/tex]. Dette er viktig aa vite for oppgaven over.

[193]

Kan man ikke bare definere en funksjon som går f.eks. slik:

[tex]F(A,B,N)=A+B[/tex] for [tex]N=1[/tex], [tex]F=A*B[/tex] for [tex]N=2[/tex], [tex]F=A^B[/tex] for [tex]N=3[/tex], [tex]F=A^A^A...[/tex] (A oppgis N ganger; prioritering av regneoperasjoner må dog defineres på et vis i forkant) for [tex]N=4[/tex], osv.

Går det da an å bevise på noe vis at [tex]F(A,B,0)=max(a,b)[/tex]? Eventuelt noe annet? Hva blir da [tex]F(A,B,-1)[/tex]?