PI er "feil"

[Dinithion]

Jeg kom over denne siden på [symbol:pi]-dagen, og ble egentlig litt småforelsket.

Basically en fyr (fysiker riktignok) mener pi er definert feil, og at den burde vært definert ved hjelp av radius, silk at alt annet i matematikken. Altså at

[tex]\pi = \frac{O}{r}[/tex]

Det gjør jo at alt faller litt mer på plass. 90 grader blir pi/4, 180 blir pi/2, alle integraler som går fra 0 til 2pi vil jo nødvendigvis gå til pi i stedenfor etc.

For ikke få forvirre, så definerer han [tex]\tau = 2\pi = \frac{O}{r}[/tex].

Så, for litt mer informasjon, http://tauday.com/

Interessant idé i det minste

Edit:
Og for dere som ikke orker å lese: http://www.youtube.com/watch?v=jG7vhMMXagQ

[Markonan]

Hehe, det er faktisk et ganske godt poeng!
2*pi dukker opp i så alt for mange sammenhenger.

Pi kommer vel fra de gamle grekerne, og de visste ikke hvor viktig det tallet ville bli utenfor geometrien, og hadde derfor ikke noen grunn til å endre på det.

Tror ikke han kommer så langt med forslaget sitt da. Går jo egentlig ganske greit å bruke 2*pi... er jo bare å skrive et 2 tall.

[Dinithion]

Tror ikke han kommer så langt med forslaget sitt da. Går jo egentlig ganske greit å bruke 2*pi... er jo bare å skrive et 2 tall.

Hehe, nei, ikke jeg heller. Jeg tror det er for mange matematikere der ute som er for glad i pi og som har vanskelig for å tenke nytt og anderledes.

Men, jeg synes ihvertfall at matematikk er et språk hvor alt bør være logisk og fornuftig bygget opp. Og ikke minst vakkert. Det mest logiske, fornuftige og vakre er å bruke omkrets/radius. Men det er nå bare min mening som ikke er inspirerende matematiker en gang ;P

[Markonan]

Et av hovedargumentene hans er at 2*pi gjør det vanskeligere å lære, men til og med det er jeg uenig i. Det er ikke 2*pi vs tau som er det vanskelige.

Men som sagt: han har et poeng! Smekk til Aristoteles og Euler!

PS Det er vel 'aspirerende' du tenker på.

[Dinithion]

PS Det er vel 'aspirerende' du tenker på.

Hehe, begge deler faktisk, men det var aspirerende jeg tenkte da jeg skrev innlegget, ja

[Markonan]

Følte jeg måtte påpeke det, men vil ikke fremstå som en arrogant 'know-it-all'.

[svinepels]

Jøss, akkurat det samme har slått meg når jeg har holdt på med trigonometri!

Men ser Eulers identitet like pen ut når det ikke er noen additativ enhet med i likningen?

[FredrikM]

Men ser Eulers identitet like pen ut når det ikke er noen additativ enhet med i likningen?

Tenker du på [tex]e^{i\pi}=-1[/tex]? Denne er bare et spesialtilfelle av den mer generelle [tex]e^{i\phi}=\cos \phi +i\sin \phi[/tex]. Dette gir f.eks at [tex]e^{2\pi}=e^\tau = 1[/tex].

[svinepels]

Mhm, og i likningen [tex]e^{i \tau} = 1 [/tex] har vi kun e, sirkelkonstanten, den immaginære enheten og den multiplikative enheten 1 - ingen additativ enhet 0. Mange sier jo at mye av poenget med Eulers identitet er at den forbinder alle disse fem tallene.

Etter å ha lest The Tau Manifesto mener jeg imidlertid at [tex]e^{i \tau} = 1 [/tex] er penere enn [tex]e^{i \pi} + 1= 0 [/tex]. Eulers identitet oppnås ved å flytte -1 over til den andre siden og skifte fortegn etter å ha satt inn [tex]\tau[/tex] for x i

[tex]e^{ix} = \cos x + i \sin x[/tex]

mens med tau kommer oppnår du identiteten [tex]e^{i \tau} = 1 [/tex] uten en slik flytting.

[FredrikM]

Mange sier jo at mye av poenget med Eulers identitet er at den forbinder alle disse fem tallene.

Vel, det er populærmatematisk vås. Det stemmer at vi kan "forbinde" [tex]e,\pi,1[/tex] og [tex]0[/tex] ved Eulers identitet, men "ingen" matematikere tenker på den slik.

For det første: man tenker på den som [tex]e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta[/tex]. På denne måten forbinder man enhetssirkelen i det komplekse planet med eksponentialfunksjonen, og *dette* er det som virkelig er nyttig. Mange trigonometriske identiteter lar seg superlett bevise så snart man har denne identiteten. Som et eksempel:

Siden [tex]e^{i2\theta}=(e^{i\theta})^2[/tex] har vi at [tex]\cos 2\theta =cos^2 \theta -\sin^2 \theta[/tex] ved å sette realdelene på hver side like hverandre.

(i grunn kan man si at alle miraklene med kompleks analyse følger fra Eulers identitet på denne formen.)

[svinepels]

Selvfølgelig. Man skiller jo mellom Eulers identitet, [tex]e^{i \pi} + 1 = 0[/tex] og Eulers formel, [tex]e^{i x} = +\cos x + i \sin x[/tex] (rett på meg om disse navnene er feil, er selvlært i komplekse tall og har da oversatt direkte fra de engelske navnene).

Så identiteten er eye-candy, mens det er den faktiske formelen som virkelig er matematisk interessant og kan anvendes til å bevise formler, etc, så vidt jeg har forstått.

[Vektormannen]

Selvfølgelig. Man skiller jo mellom Eulers identitet, [tex]e^{i \pi} + 1 = 0[/tex] og Eulers formel, [tex]e^{i x} = +\cos x + i \sin x[/tex] (rett på meg om disse navnene er feil, er selvlært i komplekse tall og har da oversatt direkte fra de engelske navnene).

Så identiteten er eye-candy, mens det er den faktiske formelen som virkelig er matematisk interessant og kan anvendes til å bevise formler, etc, så vidt jeg har forstått.

Nå skal jeg ikke gå helt off-topic i det denne tråden egentlig handler om, men foreleseren vår i Analyse II på NTNU har lagt ut et notat om akkurat dette her. Det kan kanskje være av interesse? Jeg syns det var godt skrevet og interessant i alle fall.

[FredrikM]

Man skiller jo mellom Eulers identitet,

Vel, den ene er en konsekvens av den andre

(selv synes jeg en av de vakreste formlene er Cauchys integral-formel http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's_integral_formula . Kompleks analyse er full av vakre formler og overraskelser.)

[svinepels]

Det så absolutt pent ut, men tenker det ser enda penere ut om man faktisk vet hva det betyr

[FredrikM]

Den sier kort og godt at om du vet integralet langs en lukket kurve i det komplekse planet, så vet du også alle funksjonsverdiene innenfor kurven.