Trigonometri over 90°

[Kork]

Jeg har et kanskje litt merkelig spørsmål som sikkert kan være vanskelig å forstå:

Definisjonen for de trigonometriske funksjonene for vinkler under 90° er jo veldig naturlige.

Men definisjonene for de trigonometriske funksjonene når vinkelen er over 90°, er de bestemt fordi at det var de mest hensiktsmessige?





Og har vi fri vilje dersom naturlovene bestemmer alt? =P

[Charlatan]

En vinkel mellom 0 og 360 grader definerer en trekant i enhetssirkelen. Så det er rimelig å utvide definisjonen av de trigonometriske funksjonene til alle disse trekantene, selv om de har sider med negative lengder.

Se http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_circle

(Og bare noen av oss har fri vilje)

[Kork]

Så definisjonen er den mest praktiske av flere mulige?

Den er jo ikke utledet "direkte" fra aksiomene, noen har jo tatt et valg og sagt at det skal være slik. Eller?

[Aleks855]

Så definisjonen er den mest praktiske av flere mulige?

Den er jo ikke utledet "direkte" fra aksiomene, noen har jo tatt et valg og sagt at det skal være slik. Eller?

Matematikk er tvers gjennom preget av at noen har tatt valg om at slik skal det være. Som regel så bruker vi det som unnskyldning hvis noe er uintuitivt

[Kork]

Jo men de som jeg har vært borti til nå er jo utledet fra aksiomene og kan bare være slik det er. Tror jeg da, eller er det feil?

Mens med trig over 90° så er det jo flere måter dette "systemet" kunne vært bygget opp på. Her har jo noen måtte bestemt at cos i andre kvadrant skal være negativ osv.


Nei jeg bare lar det gå, jeg får tenke på dette når jeg har mer kunnskap.

[Nebuchadnezzar]

at cos over 90grader er negativt kommer jo direkte fra definisjonen av cos og sin

Et punkt på en sirkel med radius 1, har koordinatene

[tex](\sin x , \cos x)[/tex]

Og vi har definert dette koordinatsystem basert på den reelle tallinja (det er vel et system du kan klare å svelge som logisk) =)

Og utifra dette systemet, så faller bare definisjonene ut.

[Kork]

Joda jeg ser jo selvfølgelig at alt stemmer med definisjonen, men var vel helst selve definisjonen jeg satt og undret meg over. At selve definisjonen ikke er en selvfølge, bare den mest praktiske.

[Charlatan]

Det er også verdt å merke at de trigonometriske identitetene vi har i dag ikke ville holdt generelt (dvs for vinkler over 90 grader) dersom vi hadde hatt en forskjellig definisjon av de trigonometriske funksjonene. Det jeg mener med dette er at dersom vi antar at identitetene skal holde for alle vinkler, må vi godta den utvidelsen av definisjonen vi har i dag.

Men som du sier, det er alltid blitt foretatt et valg et sted. Noen valg er likevel bedre enn andre.