matematikk.net

Skjønte faktisk ikke helt denne... Forklaring?
[/img]

Du vil ikke få en sirkel ved den metoden av å hakke inn hjørnene. Du vil få noe med omkrets 4, ja. Men det vil ikke være en perfekt sirkel.

┏┓┏┓┏┓┏┓┏┓┏┓┏┓┏┓┏┓┏┓┏┓┏┓
┛┗┛┗┛┗┛┗┛┗┛┗┛┗┛┗┛┗┛┗┛┗┛

Det blir som å sammenlikne dette med ei rett linje, og anta at de har samme lengde.

Det ville sett slik ut dersom vi zoomet inn uendelig mye:

Den nesten rette streken(den perfekte sirkelen) vil jo ha en mye kortere vei rundt og tilbake igjen. c^^

Edit: Kan man komme fram til pi ved å regne på dette?

Pi fås ved å dele omkretsen på diameteren. Det er slik pi er definert. Man kan kanskje lage fraktaler langs sirkelperimeteren, men det vil aldri bli helt likt.

De hakkete kurvene vil faktisk konvergere (både absolutt og punktvis) mot sirkelen, (ikke en kurve med uendelig små "tagger"). Problemet er at grensen til lengdene på en følge kurver c_1,c_2,... ikke nødvendigvis er lik lengden til grensekurven c.

Dersom en følge stykkevis deriverbare parametriske kurver r_1,r_2,... konvergerer absolutt mot en parametrisk kurve r, og de deriverte kurvene r_1',r_2',... konvergerer absolutt mot en parametrisk kurve s, da er det slik at lengdene til kurvene r_1,r_2,... konvergerer mot lengden til kurven r.

Dette kriteriet er ikke oppfylt av kurvene i bildet, men derimot er det oppfylt dersom man omkskriver med regulære polygoner i stedet. Dette er jo den klassiske måten for å finne verdien til pi.

En annen ting å tenke på er spørsmålet om hvordan omkretsen til en sirkel er definert. Dersom man tar den vanlige definisjonen for glatte kurver, som er et integral av absoluttverdien til den deriverte parametriske representasjonen, så vil dette tilsvare (som alle integraler) økende presise tilnærminger. Metoden for å finne omkretsen må altså være via tilnærming. Problemet er altså at tilnærmingene i bildet ikke fungerer.