John Einbu - "Finnes det en sann matematikk?"

[Aleks855]

Til Alex

Et mer hjelpeløst innlegg skal man lete lenge etter. Men jeg har litt medfølelse med deg. Ditt problem er at du er overbevist om at du har rett, men du klarer ikke å bevise det på noen som helst måte, og heller ikke klarer du å bevise at jeg tar feil. Dette er selvfølgelig veldig frustrerende. Derfor forsøker du med hjelp av retorikk og mobbeteknikker å korrumpere det jeg skriver. Men i og med at du ikke kommer inn på essensen i det vi diskuterer, på selv matematikken, så oppnår du jo ikke noe annet med det enn å plasserer deg selv i en egen kategori av debattanter.

Bra sagt. Det er faktisk den samme meninga jeg har hatt om dine innlegg. Du står i akkurat samme stilling, nemlig at din matematiske kunnskap ikke er tilstrekkelig til å overbevise noen som er uenige med deg. Forskjellen mellom oss to er at du oppgir, hva var det, mastergrad i matematikk? Men må likevel overse det som skrives av matematiske formler, og heller prøve med ord. Jeg har ingen grad i matematikk, men kan skilte med forståelse for de mest grunnleggende delene av rådende mengdelære. Det er og blir en fin anekdote for min del.

Du skriver at jeg er selektiv. Og det er jeg for så vidt enig i. Jeg kommenterer fortrinnsvis bare innlegg som er saklige og holder et akademis nivå, men i ditt tilfelle har jeg nå gjort et unntak. Jeg stilte i mitt forrige innlegg tre enkle spørsmål. Ingen har svart på det, heller ikke du. Så det er andre enn meg som er selektive.

Det holdes et fint akademisk nivå her, men problemet er fremdeles at det diskuteres matematikk, der et høyt akademisk nivå gjerne innebærer med enn vifting med hendene og "jeg skjønner ikke deg, hvorfor kan ikke du skjønne meg i stedet"?

Jeg forslår at du foretar en liten mental øvelse. Tenk på følgende setning: «Kan det tenkes at Cantor tok feil?». Den tanken har nok aldri slått deg. Gjenta denne setningen for deg selv noen ganger og se hva som skjer. Ditt problem er du ikke kan tenke deg at du kan ta feil.

Selv om jeg kanskje ikke har mastergrad i matematikk, slik som deg, så er jeg likevel ingeniør, og anser meg selv som vitenskapelig anlagt, om ikke annet. Og det medfører at "kan det hende at X er feil" alltid vil være "ja". Selvfølgelig kan det hende at Cantor tok feil. Men poenget i DENNE debatten er at ingen til dags dato har klart å formulere gode nok motbevis. Og siden du er ute etter et paradigmeskifte, så er motbevis faktisk enormt viktig.

Det er det som skiller din teori, fra teorien om et heliosentrisk solsystem. Da de trodde at hele universet var geosentrisk, var det samme type motgang Copernicus møtte da han foreslo at ikke alt gikk i bane rundt jorda.

Men så kom det overbevisende, trigonometriske beviset for at jorda gikk i bane rundt sola, og alle skjønte at det var sant.

[viking]

John,
Jeg foreslår at du, som de sier på engelsk, må "Shut up or put up":
1. Skriv ned aksiomene du baserer deg på.
2. Vis selvmotsigelsen med et vanlig bevis basert på disse aksiomene.

Kantors mengdelære er simpelt, så dette blir veldig lett.

Gjør dette, og det er sikkert mange som vil høre på deg. Hvis du ikke gjør dette, så må du stoppe.

[John Einbu]

Til viking

Det er mange merkelige innslag i denne debatten. Viking vil gi meg skriveforbud hvis jeg ikke gjør akkurat det han ber meg om. Og det han egentlig sier er vel at hvis jeg ikke klarer å overbevise ham om at Cantor tok feil, så bør jeg holde kjeft og trekke meg ut. Men det er ikke bare opp til meg å klare dette. Bare hvis viking selv er åpen for at Cantor tok feil kan jeg klare å overbevise ham. Hvis ikke er det jo umulig.

Han ber meg ta utgangspunkt i mengdelærens aksiomer. Et aksiom er noe som er selvinnlysende, noe som ikke behøver begrunnes eller bevises. Nå skal vi se hva dagens mengdeteoretikere mener er selvinnlysende.

1. De mener det er selvinnlysende at alle elementer av en bestemt kategori som det er uendelig mange av kan samles i en mengde (for eksempel alle heltall) og at man kan foreta operasjoner på denne mengden. Jeg mener at skal man anta at noe eksisterer i matematikken, så må man kunne tenke seg en måte å danne dette noe på. Hvis man ikke klarer det, så kan man ikke foreta noen operasjoner på, eller trekke noen slutninger om det som man mener eksisterer. Så lenge ingen har vist hvordan man kan tenke seg å danne komplette, uendelige mengder kan man ikke anta at slike eksisterer. Så det er altså ikke selvinnlysende at komplette uendelige mengder finnes.
2. Zermelo og Fraenkel innførte et aksiom som utelukker alle mengder som ga opphav til selvmotsigelser. De mente altså at det var selvinnlysende at det må være fullt tillatt med ad hoc aksiomer i en matematisk teori, aksiomer hvis eneste hensikt er å unngå selvmotsigelser. Selv oppfatter jeg dette som en form for juks.
3. Cantors kontinuumhypotese synes ikke å ha skapt noen problemer for dagens mengdeteoretikere. At mengdelæren har en hypotese som hverken kan bevises eller motbevises synes matematikere fint å kunne leve med.

I http://john.einbu.no/2015/11/29/mot-en- ... ere-del-1/ foreslår jeg en ordning av alle desimaltall mellom 0 og 1 som jeg påstår inneholder alle disse tallene. Man ender selvfølgelig opp med et uendelig antall desimaltall i ordningen. Og etter hvert som man går nedover i ordningen vil også antall siffer i tallene øke og dette antallet går også mot uendelig. Jeg mener at vi her har med to uendelige størrelser å gjøre, det uendelige antall desimaltall man ender opp med er mye større enn det uendelige antall siffer man ender opp med. Derfor får ikke ordningen en kvadratisk form og dermed vil ikke Cantors diagonalmetode kunne anvendes.

Jeg forkaster altså den delen av mengdelæren som utsier noe om uendelige mengder som etter min mening ikke finnes. Dette vi gjelde en ganske stor del av en lærebok i mengdelære. Jeg godtar heller ikke en matematisk teori som må ty til ad hoc aksiomer for å unngå selvmotsigelser. Og jeg anklager matematikerstanden for ikke å ha tatt et oppgjør med mengdelæren da det i 1963 kom for dagen at Cantors kontinuumshypotese hverken kan bevises eller motbevises. Alle burde ha skjønt at det var noe dysfunksjonelt med en slik teori. Og siden Cantors diagonalmetode ikke gjelder, så vil alt som kan avledes av den forkastes. Så etter dette blir det ikke så mye igjen i en lærebok i mengdelære som har relevans.

Jeg tror jeg nøyer meg med dette. Jeg har nå nevnt fire egenskaper ved dagens mengdelære som samlet gjør at jeg forkaster læren (jeg kunne ha nevnt flere). Men jeg har ingen forhåpninger om at dette vil påvirke viking på noen måte. Han lever i sin egen verden hvor mengdelæren er en perfekt teori, og han er trolig ikke i stand til å se noe som er tvilsomt med den. Som man vil se er det stort sett gjentagelser av ting jeg har skrevet før. Men det var viking som ba om det her.


Til slutt: Jeg føler meg egentlig som en varsler. Og en varslers skjebne er å bli forhatt av de som varslet gjelder for. Det er noe jeg må prøve å leve med, selv om det ikke er det jeg helst ønsker. Men jeg trøster meg med at jeg stadig får nye impulser fra mine mot-debattanter. Og siden ingen innlegg i debatten her så langt har svekket min tro på at Cantor tok feil, så hvorfor i all verden skal jeg slutte å forsvare denne troen, slik viking ber meg om.

[John Einbu]

Til viking

Jeg skal nå komme med et enklere svar på ditt forrige innlegg. Du ber meg å skrive ned aksiomene jeg baserer meg på og deretter å vise selvmotsigelsene som følger av disse aksiomene.
Det holder med ett aksiom, Cantors uendelighetsaksiom. Det sier at står man overfor en kategori elementer som det er uendelig mange av så kan disse elementene samles i en mengde. Komplette uendelige mengder kan dannes og eksisterer altså i følge dette aksiomet.

Russel fant en kategori elementer som det ikke var mulig å samle i en mengde. Uansett hvor mange elementer man tilføyde mengden, så kunne man påvise et element som ikke fantes i mengden. Altså tok Cantor feil, ikke alle elementer det er uendelig mange av kan samles i en mengde. Dette burde være tilstrekkelig til å forkaste uendelighetsaksiomet.

Men det finnes uendelig mange andre kategorier elementer som ikke kan samles i en mengde. Heltallene er en av disse kategoriene. La oss tenke oss at vi har klart å samle alle heltallene i en mengde, M. Nå vil enhver samling heltall inneholde et tall som er større enn alle de andre tallene i samlingen. Mengden M må da også nødvendigvis ha et tall som er større enn alle de andre tallene i M. Dette er så selvinnlysende at det ikke er nødvendig med noen begrunnelse. La os kalle dette tallet n. Men da må det være et tall n + 1 som ikke finnes i M. Altså har vi funnet et nytt moteksempel på at uendelighetsaksiomet ikke gjelder. Noen flere selvmotsigelser trenger ikke jeg for å forkaste gjeldende mengdelære.

Ja, men Cantor sa jo at det største heltallet ikke finnes, vil du da kanskje si. Men fikk Cantor en åpenbaring fra Gud om dette? så det er derfor du tror på det, eller er det et ufeilbarlighetsdogme knyttet til Cantor som gjør at han aldri kan ta feil. Kan det ikke tenkes at Cantor bare var et vanlig menneske at han derfor kan ha tatt feil her? Han tok jo feil når det gjelder diagonalmetoden.

[Gustav]

..vil enhver samling heltall inneholde et tall som er større enn alle de andre tallene i samlingen. Mengden M må da også nødvendigvis ha et tall som er større enn alle de andre tallene i M. Dette er så selvinnlysende at det ikke er nødvendig med noen begrunnelse. La os kalle dette tallet n. Men da må det være et tall n + 1 som ikke finnes i M. Altså har vi funnet et nytt moteksempel på at uendelighetsaksiomet ikke gjelder. Noen flere selvmotsigelser trenger ikke jeg for å forkaste gjeldende mengdelære.

Hva i all verden er det som får deg til å tro at enhver samling heltall må inneholde et største tall?

Det er selvsagt riktig at enhver endelig samling heltall må inneholde et største tall.

Regner med at du også mener at åpne intervaller $(a,b)$ har et maksimum? Det er det jo svært enkelt og intuitivt å motbevise i så fall.

[Karl_Erik]

John Einbu: Om du er interessert i å ha en produktiv diskusjon tror jeg det er lettere å la diagonalmetoden ligge. Med det mener jeg ikke at du ikke får lov til å kritisere mengdelære, men det virker som dine uenigheter med den begynner allerede med ting som det at mengden partall og mengden naturlige tall har lik kardinalitet, som ikke baserer seg på diagonalmetoden overhodet. Det virker derfor poengløst å skulle forsvare diagonalmetoden for deg når kritikken din allerede begynner "lenge før" vi kommer dit. Kunne du derfor forklart hvorfor du synes det er så rart at man skal kunne parre sammen naturlige tall og partall bijektivt? Eller er det du synes er rart at matematikere velger "kan parres sammen bijektivt" som oversettelse av begrepet "er like mange"?

[John Einbu]

Til Plutarco

Ja, nå begynner diskusjonen å bli interessant. I dag skal vi se på to nye problematiske sider ved Cantors mengdelære, som hittil ikke har vært berørt. Og jeg tar utgangspunkt i ditt siste innlegg. I den første setningen sier du deg forundret over at jeg ikke kan innse at det største heltallet ikke kan finnes. Og da tenker du selvfølgelig på det beviset som går ut på at uansett hvilket uendelig tall, N, man velger i samlingen av alle heltall, så kan ikke dette tallet være det største, fordi N + 1 vil være et større tall. Og dette er en del av barnelærdommen til alle matematikere.

Men det man da ikke tenker på er hvilke regneregler gjelder for uendelige tall. La oss bli mer konkret og i stedet for å operere med symbolet, N, for et uendelig tall, tar for oss tallrepresentasjonen for dette tallet. La oss si at du påtar deg den oppgaven å uttrykke dette tallet med siffer. Og etter noen uker kommer du tilbake med et tall på noen millioner siffer og lar dette tallet representere det tilfeldig valgte uendelige tallet. Men når jeg sjekker ser jeg at sifferrekken har et siste siffer. Men dermed var det et endelig tall du la frem og ikke et uendelig tall slik som forutsatt. Til det vil du svare at det er ikke mulig for deg å uttrykke et uendelig tall. Og der har vi problemet. Du mener at ved å plusse på et ett-tall til et uendelig tall som du ikke kan uttrykke, så får du et tall som er større enn det tallet du ikke kunne uttrykke. Dette er neppe særlig overbevisende. Jeg vet i alle fall ikke hvilke regneregler som gjelder for tall som ikke kan uttrykkes.

Nå vil du kanskje triumferende si at jeg her har bevist at det største uendelige heltallet ikke finnes. Det største heltallet har jo ingen tallrepresentasjon og derfor eksisterer det ikke. Men det jeg har bevist er i så fall at det ikke finnes noen uendelige heltall i det hele tatt, og det går neppe hovedstrømmen av matematikere med på. Et tallsystem uten et eneste uendelig tall vil nok ikke slå an.

I den neste setningen innrømmer du at i enhver samling av endelig heltall, vil ha et største heltall. Og dette vil gjelde uansett hvor stor samlingen er. Nå er du sikkert fortrolig med en anerkjent bevisteknikk i matematikken som sier at hvis et matematisk system har en bestemt egenskap for alle endelige verdier av en parameter, n, også når n går mot uendelig, så vil systemet også ha denne egenskape når n er uendelig. Det synes nå som om du har funnet et system hvor denne bevisteknikken ikke gjelder, nemlig i systemet av samlinger av heltall. I dette systemet vil det være slik, etter din mening, at «enhver endelig samling heltall må inneholde et største tall», men at dette plutselig ikke gjelder når man har med uendelige samlinger å gjøre. Hvis du har rett her, så bør jo en rekke eksisterende bevis i matematikken granskes på nytt for å se om vi har med flere slike moteksempler å gjøre. Jeg tror ikke noen vil gi seg i kast med det, men heller trekke den slutning at du tar feil.

Vi har nå tatt for oss to nye problematiske sider ved mengdelæren, med utgangspunkt i ditt innlegg. Og føyer vi disse to problemene til alle de åpenbare defekter som vi allerede har påvist, så vil jeg våge den påstand at Cantors mengdelære er en ufullkommen matematisk teori.

Som kjent har jeg forsøkt å tenke ut en alternativ mengdelære hvor jeg styrer unna alle disse problematiske sidene ved Cantors mengdelære. Nå vil du kunne si at noe slikt vil jeg trolig ikke lykkes med, siden ingen har klart dette på over 100 år. Til det vil jeg svare at den alternative mengdelære som jeg foreslår vil kreve en så stor omstilling i ens måte å tenke på om tallsystemet, at veldig få vil være innstilt på det. Det viktigste nye man må akseptere er at det er et skille mellom eksistens og representasjon. I den foreslåtte mengdelære vil det største heltallet kunne eksistere, men man vil ikke kunne gi dette tallet en tallrepresentasjon. Man vil altså ikke kunne skrive det ned eller uttrykke dette tallet på noen slags måte. Jeg sier også at dette tallet ikke kan nås ved telling. Man kan derfor ikke danne mengden av alle heltall, fordi man aldri vil kunne føye til det siste og altså største heltallet. Dette tallet kan man aldri nå.

Men dette gjelder ikke bare uendelige tall. Du nevner i din tredje setning det åpne intervallet (a,b), som etter din mening ikke har et siste tall. Det er riktig at dette siste tallet ikke kan skrives ned eller uttrykkes på noen måte, men i den alternative mengdelære vil dette tallet eksistere. Det er da heller ikke helt ulogisk å tenke seg at dette tallet eksisterer på en eller annen måte. I Cantors mengdelære kan vel tallene i dette intervallet danne en mengde, men i den alternative mengdelære kan de ikke det, fordi mange av tallene ikke kan nås.

Hvis du leser mitt innlegg av 12/01-2016 og sammenholder det som står der, med de seks første innleggende som står på min blogg john.einbu.no om en paradoksfri mengdelære, vil du se hvordan jeg tenker meg denne nye mengdelæren. Og i enkelte av mine innlegg etter det har det vel kommet noen utfyllende tanker om denne læren.

Trolig vil de fleste av leserne av dette innlegget avvise den nye mengdelæren. Spranget fra dagens mengdelære til den nye vil være for stort for dem. Og de vil også kunne holde fast ved det gamle paradigmet, selv om flertallet etter hvert holder seg til det nye. Vi vil kunne få den situasjonen som Thomas Kuhn beskriver i sin bok «The Structure of Scientific Revolutions», hvor tilhengere av et foreldet paradigme aldri gir opp sin tro på det, men at det nye paradigmet vinner frem til slutt fordi tilhengerne dør ut.

Det er mulig jeg har oversett noe, men den foreslåtte mengdelære har etter min mening ingen av de problematiske sidene som Cantors lære har. Men jeg kan selvfølgelig utfordre deg og de andre debattantene til å prøve å påvise noen slike sider.

[Karl_Erik]

Du argumenterer for at beviset "for alle heltall N er N+1 større, ergo finnes intet største heltall" ikke stemmer for uendelige N fordi det ikke er klart hvilke regneregker som gjelder om N er uendelig. Da er jeg nysgjerrig på hva du mener kan gå galt.

I mine øyne har du to hovedmuligheter. For det første kan du si at N+1 er udefinert. Men da har du både gjort + til en operasjon "med unntakk", som du ellers har vært kritisk til, og ikke oppnådd noe som ikke kan oppnås med endelige heltall (vi kunne sagt at N=20) var det største heltall et om vi ville).

Andre mulighetr at N+1 er definert, men ikke større enn N. I så fall kan jeg vel gå utifra at du ikke mener det er mindre enn N, så det er vel da slik at N+1=N? Dette virker for meg som minst like rart som det du synes er rart med vanlig mengdelære. Er du uenig i dette?

[viking]

John Einbus spørsmål "Finnes det en sann matematikk?" er retorisk. Han har allerede skrevet sin egne bok med dette som tittel, og boken kan du kjøpe på hans hjemmeside. Med bøkene Finnes det en sann matematikk?, Gud skapt i menneskets bilde og Bevissthetens logikk har John Einbu gitt et fullt svar på the ultimate question of life the universe and everything

Tror ikke Einbu, som har funnet svaret på universets og livets gåte er på matematikk.net for å lære noe. Han er her mer for å evangelisere sine meninger. All konstruktiv kritikk har blitt ignorert og han har ikke prøvd å bruke forumet for å søke etter hva som er riktig selv om det er mange dyktige folk her som har brukt mye tid på å utfordre ham.

John Einbu hører ikke på hva noen sier i denne tråden hvis det ikke matcher opp med hva han mener.
Det blir litt mer religion enn matematikk.

[John Einbu]

Til Karl¬_Erik

Som svar på ditt innlegg skal jeg komme med en tilføyelse til mitt siste innlegg. Og jeg vil starte med beviset for at det største heltallet ikke finnes. I dette beviset starter man med et uendelig tall og man spør om det er mulig at dette tallet er det største heltallet. Men Cantor og hans tilhengere mener at dette tallet ikke kan være det største fordi hvis man plusser på et ett-tall til dette tallet så blir dette nye tallet større. Men dette avhenger vel litt av hva man kaller dette valgte tallet. Kaller man det N for eksempel, så vil dette virke plausibelt. Men i andre grener av matematikken enn mengdelæren bruker man gjerne et annet symbol for å representere et uendelig tall, og det er ∞. Men bruker vi dette symbolet i Cantors bevis, så er det ikke så sikkert at vi kan klare å finne et tall som er større enn det tallet som ∞ representerer, for regneregelen for ∞ sier at ∞ + 1 = ∞. Så vi har ikke funnet et tall som er større enn det som vi forsøksvis stilte spørsmål om.

Så hva skal vi si om dette? Har de uendelige tallene forskjellige egenskaper i de forskjellige grener av matematikken? Da kan vi ikke snakke om en konsistent matematikk lenger. Og vi matematikere kan ikke slå oss på brystet og proklamere at vi representerer den eneste vitenskapsgren som er uten noen uregelmessigheter eller avvikende oppfatninger. Med andre ord, vi kan ikke hevde at matematikken på alle måter er et perfekt tankesystem.

Men i det store og hele er matematikken selvsagt et enestående, uunnværlig verktøy for beregning og analyse innen teknologi og vitenskap til alle tider. Men på ett punkt er den kommet til kort. Den har ikke gitt noen god og overbevisende forklaring på hva uendelig er. Her har matematikerne sviktet. Men heldigvis finnes det ingen anvendelser i teknologi og vitenskap hvor man trenger å forstå hva uendelig er. Ikke engang kosmologien trenger å forstå det. Men hvis de uendelige tallene har forskjellige egenskaper avhengig av hvilken gren av matematikken man befinner seg i, da er matematikken moden for en revisjon.

Du mener at hvis man plusser på et ett-tall til et uendelig tall, så finnes det bare to muligheter, enten blir det påplussede tallet større enn det opprinnelige eller det blir like stort. Og du spør om jeg er uenig i det. Ja, jeg er uenig i det. For som jeg har sagt mange ganger allerede, så vil man i den nye mengdelæren aldri kunne nå et uendelig tall. Man har ikke tilgang til et slikt tall og kan derfor ikke operere på det. Det har derfor ikke noen mening å snakke om resultatet av en operasjon man ikke kan utføre.

[Karl_Erik]

Jeg er litt usikker på om jeg forsto svaret ditt.For meg virker det som du sier at ja, tallet ∞ er slik at ∞ + 1 = ∞, men siden vi ikke kan representere det kan vi heller ikke regne ut ∞ + 1, så det å snakke om hva det skulle blitt blir meningsløst. Bare for å få sikkerhet i hva du sier - mener du at ∞ + 1 faktisk _er_ ∞? Eller mener du at ∞ + 1 er udefinert? Eller mener du at ∞ + 1 er definert (og lik ∞?), men siden vi ikke kan representere ∞ kan vi ikke regne ut summen, så selv om vi "vet" at summen blir ∞ kan vi ikke regne den ut?

Litt uavhengig av hvilken av disse som er tilfellet må du uansett gå med på at ∞ + 1 enten er udefinert (eller meningsløs å snakke om eller noe i den stilen) eller at ∞ + 1 = ∞. I første tilfelle har du da gitt + den uheldige egenskapen at vi ikke lenger kan ta summer av alle par av tall, noe du tidligere kritiserte divisjon for, og i det andre tilfelle (∞ + 1 = ∞) har du gitt tallene dine det jeg vil kalle veldig rare egenskaper. For meg er påstanden ∞ + 1 = ∞ like rar som påstanden "det finnes like mange heltall over 1 som det finnes heltall over 2", som virker som en av de typene påstander du kritiserer vanlig mengdelære for å godta. Er du uenig i dette?

[John Einbu]

Til Karl_Erik

Jeg skal nå kommentere ditt innlegg av 3, mars, hvor du tar for deg den metode som Cantor fant opp for å bestemme om to mengder har like mange elementer. Det sies at før Cantors tid kjente man til bare en måte å finne ut om to mengder hadde like mange elementer, nemlig ved telling. Er U mengden av alle uliketall mellom 0 og 101, og L mengden av alle liketall i det samme intervallet, så kan man ved telling finne ut at det er 50 tall i hver mengde, derfor har de to mengdene like mange tall. Men Cantor fant altså en annen metode for å oppnå det samme på, nemlig at hvis alle tallene i U kan danne par med alle tallene i L på en en-entydig måte, så må det være like mange tall i de to mengdene. Det geniale ved denne metoden, vil Cantors tilhengere si, er at metoden også kan benyttes for uendelige mengder (hvor tellemetoden kommer til kort). Derfor vil man for eksempel kunne bevise at det er like mange primtall som heltall (eller naturlige tall). Nå skal vi se hvor genialt dette egentlig er.

En annen egenskap ved Cantors metode er at den kan generaliseres. Hvis H er mengden av alle heltall mellom 0 og 101, så kan man danne par av tallet 1 i U og de to tallene 1 og 2 i H, og likeså danne et nytt par av tallet 3 i U og tallene 3 og 4 i H. Og slik kan man fortsette, og vil ende opp med at alle tallene i U kan pares med to tall i H. Men dermed kan man slutte at det er dobbelt så mange tall i H som i U. Denne metode er like pålitelig for å bestemme at det to ganger så mange tall i H som i U, som Cantors metode er til å bestemme at det er like mange tall i U som i L. Og den generaliserte metode vil også kunne gjelde for uendelige mengder. Men hva får vi da? Ja, da kan vi bevise hva som helst. I første omgang ser vi lett at det kan bevises at det er dobbelt så mange heltall som det er uliketall. Noe som virker svært logisk, men som likevel ikke stemmer med hva Cantor påstår, nemlig at det er like mange uliketall som heltall. Men vi kan påvise mye mer enn det. Hvis for eksempel A er en mengde av alle heltall og B er en annen mengde også av alle heltall, så kan vi danne par av ett og ett tall i A, fra 1 av og oppover, med fem og fem nye tall i B og dermed bevise at det er fem ganger så mange tall i B som i A. Noe som jeg vil tro alle vi innse er en selvmotsigelse. Og generelt, har man to vilkårlige uendelige mengder av heltall, så kan man bevise at det er n ganger så mange tall i den ene mengden som det er i den andre mengden for et hvilket som helst naturlig tall n.

Noen vrir seg unna her ved å si at Cantor egentlig ikke beviste at to uendelige tallmengder har like mange tall, bare at de har samme kardinalitet. Så at to mengder har samme kardinalitet betyr bare at begge mengdene har uendelige mange tall. Men hva er da vitsen med denne pardannelsen hvis det eneste man beviser er at uendelige menger har uendelige mange elementer. Hvis det eneste Cantor har bevist er at det er uendelige mange primtall og uendelige mange heltall (men ikke nødvendigvis like mange av hver), så har ikke Cantor oppdaget noe nytt ved uendelige mengder.

Etter min mening føyer Cantors paringsmetode seg fint inn i rekken av tabber som Cantor gjorde. Jeg vet ikke hvor mange slike tabber vi nå har avslørt i denne debatten, men det er blitt ganske mange.

[John Einbu]

Til Karl¬_Erik

Bare et kort svar til ditt innlegg av 6/3. Jeg har nok ikke uttrykt meg klart nok i det innlegget du kommenterer, slik at du har misforstått meg. La meg derfor si det slik. I de tre første avsnittene befinner jeg meg i Cantors mengdelære og ellers i den konvensjonelle matematikken. Det er i den konvensjonelle matematikken at symbolet ∞ har den egenskapen at ∞+1= ∞. I den mengdelære som jeg foreslår vil kanskje ikke symbolet ∞ forekomme og det vil i alle fall ikke ha den egenskapen som nevnt ovenfor. Bare i det siste avsnittet befinner jeg meg i den nye mengdelæren. Jeg beklager at jeg forledet deg her.

[Karl_Erik]

Til Karl¬_Erik

Bare et kort svar til ditt innlegg av 6/3. Jeg har nok ikke uttrykt meg klart nok i det innlegget du kommenterer, slik at du har misforstått meg. La meg derfor si det slik. I de tre første avsnittene befinner jeg meg i Cantors mengdelære og ellers i den konvensjonelle matematikken. Det er i den konvensjonelle matematikken at symbolet ∞ har den egenskapen at ∞+1= ∞. I den mengdelære som jeg foreslår vil kanskje ikke symbolet ∞ forekomme og det vil i alle fall ikke ha den egenskapen som nevnt ovenfor. Bare i det siste avsnittet befinner jeg meg i den nye mengdelæren. Jeg beklager at jeg forledet deg her.

Da har du nok misforstått den konvensjonelle matematikken. I den er ikke symbolet ∞ et tall, langt mindre et heltall. Din opprinnelige innsigelse var mot beviset for at det finnes uendelig mange heltall. Beviset gikk som følger "La n være det største heltallet. Da er n + 1 større, så det kan ikke være bare endelig mange heltall.". Du sa "Men hva om n er uendelig? Da holder ikke beviset.". Som du sier forsto jeg det som et utsagn ment å tolkess innen din nye mengdelære. Om det skal tolkes klassisk er innvendingen din feil, for alle heltall i klassisk matematikk er uendelige. ∞ er klassisk ikke et tall.

[Karl_Erik]

Noen vrir seg unna her ved å si at Cantor egentlig ikke beviste at to uendelige tallmengder har like mange tall, bare at de har samme kardinalitet. Så at to mengder har samme kardinalitet betyr bare at begge mengdene har uendelige mange tall. Men hva er da vitsen med denne pardannelsen hvis det eneste man beviser er at uendelige menger har uendelige mange elementer. Hvis det eneste Cantor har bevist er at det er uendelige mange primtall og uendelige mange heltall (men ikke nødvendigvis like mange av hver), så har ikke Cantor oppdaget noe nytt ved uendelige mengder.

Etter min mening føyer Cantors paringsmetode seg fint inn i rekken av tabber som Cantor gjorde. Jeg vet ikke hvor mange slike tabber vi nå har avslørt i denne debatten, men det er blitt ganske mange.

Jeg er i det store og det hele enig i beviset du fører for at det er 'like mange' heltall som partall og at det også er 'fem ganger så mange' heltall som heltall. Men som du sier er min innvending at jeg vil "vri meg unna" med å si at begrepet "like mange" er litt upresist, og at vi heller burde bruke "har samme kardinalitet". Jeg er dog uenig i kritikken din av dette som bare å vise at uendelige mengder har uendelig mange elementer. Kardinalitetsbegrepet er mer nyansert enn bare å skille mellom uendelige ting og endelige ting. Det skiller mellom forskjellige grader av uendelighet, og man kan vise at mengden reelle tall og mengden naturlige tall ikke har samme kardinalitet. Nå vet jeg at du er skeptisk til beviset for dette, men det er nå så. Uansett antar jeg vi kan være enige om at du her ikke har demonstrert en selvmotsigelse i klassisk mengdelære så mye som en påstand om at den viser ting du synes er lite intuitivt. Du synes det er rart at mengden heltall har samme kardinalitet som mengden partall samtidig som det er "dobbelt så mange" partall som heltall, men du har ikke vist at klassisk mengdelære inneholder selvmotsigelser bare fordi den tillater at det kan finnes både 1-til-1-funksjoner mellom to mengder og samtidig 2-til-1-funksjoner. Om du synes dette er lite intuitivt er det greit, men noen selvmotsigelse er det altså ikke.