John Einbu - "Finnes det en sann matematikk?"

[Gustav]

At om vi skriver alle desimaltall under hverandre så blir den resulterende listen alt annet enn «kvadratisk», i den forstand at det er mange flere desimaltall enn det er siffer i hvert av dem».
Jeg tolker dette som om han går god for mine argumenter. For hvis diagonalmetoden svikter, ja så er mengdelæren moden for en kraftig revisjon.

Jeg er ingen ekspert i aksiomatisk mengdeteori, men jeg forstår ikke på hvilken måte du mener at diagonalmetoden svikter.

Det er evident at dersom $2^{\mathbb{N}}$ er utellbar, så er også $(0,1)$ (og $\mathbb{R}$) utellbar.

La $f:\mathbb{N}\to 2^{\mathbb{N}}$, gitt ved at $f(n)=(x_{n1}, x_{n2},...)$, der $x_{ni}\in\{0,1\}$.

Hvis vi lar $\bar{x}$ betegne komplementet av $x$, slik at $\bar{0}=1$ og $\bar{1}=0$, så vil $(\bar{x}_{11}, \bar{x}_{22},...)\not\in Im(f)$, så $f$ er ikke en surjeksjon, og $2^\mathbb{N}$ er ikke tellbar.

EDIT: Om lista du snakker om er kvadratisk eller ei, spiller vel ingen rolle for argumentasjonen? Det Hanche antagelig ikke kunne argumentere mot var vel heller det "åpenbare" faktum at mengden av desimaltall (med kardinalitet tilsvarende kardinaliteten til $2^{\mathbb{N}}$) er større enn mengden av siffer (lik kardinaliteten til $\mathbb{N}$).

[Aleks855]

"Å hoppe inne i begynnelsen av en tråd med to personkarakteristikker som utelukkende er ment å såre, viser at vi har med to umodne og kanskje litt frustrerte mennesker å gjøre."

Fiffig resonnement, men la gå. Da er vi to om det å være selvutnevnte menneskekjennere.

"To som selv ikke har bidratt med noe nytt i sin profesjon noen gang og som derfor hisser seg opp når noen andre kommer med nye ideer."

Vel, jeg er ikke matematiker av verken grad eller yrke, så la det poengteres at min profesjon var du ikke klar over da du skrev innlegget ditt.

Jeg er utdannet dataingeniør, men trives med hobby-rollen som produsent av digitale læremidler, som forøvrig har fått tusenvis av gode tilbakemeldinger fra blant annet;

- studenter som har slitt med matematikk

- studenter som ønsker å få undervisning litt lenger frem i pensum

- lærere som anbefaler mitt produserte materiale til sine elever

- foreldre som ønsker privatlærer for sine barn

Det er nå snakk om over 1000 videoer, med et akkumulert seertall på over 1.2 millioner, i skrivende stund.

Nei, jeg vil ikke kalle det banebrytende, men når vi først skal rette på andres tolkninger av oss selv, så får vel jeg også gjøre det.

"Historien har vist at det er mange måter å reagere på når en utenforstående sier dem i mot. Paver har brent sine motstandere, islamister korsfester og halshugger de som ikke er enige med dem. Og Thomas Kuhn har i sin bok The Structure of Scientific Revolutions berettet om hvordan etablerte vitenskapsmenn har hindret fremskritt i sin vitenskap fordi de har nektet å godta et nytt paradigme som åpnet for ny innsikt om virkeligheten. Heldigvis finnes det noen som reagerer annerledes. De kan selv ha gjort oppdagelser i sin vitenskapsgren og ønsker derfor nye ideer velkommen. Er ideen litt radikal, så tror de ikke nødvendigvis på den, tvert imot, ideen kan komme på tvers av alt de har lært, men ideen gjør dem likevel nysgjerrig og de tar det som en utfordring å kunne påvise at ideen ikke har livets rett. Det er slike som bidrar til paradigmeskifter i vitenskapen. Men espen180 og Alex855 er nok ikke blant disse."

Det ville vært rart om jeg sto for et paradigmeskifte i et vitenskapelig felt jeg kun kan kalle hobby. Ellers synes jeg det er vittig at du påtar deg offerrolle på lik linje med korsfestede og halshuggede personer.

"Disse to er tydeligvis ikke særlig fortrolig med mengdelærens historie. For hadde de vært det, så ville de ha visst at mengdelæren helt fra første stund rundt år 1900 har vært kontroversiell og at den fremdeles er det. Flere forsøk har vært gjort for å rette opp svakhetene i den opprinnelige teorien til Cantor, men uten noe særlig hell. Mange av dagens matematikere har resignert og ignorerer denne grenen av matematikken."

Her begynner logikken å skurre. Ja, det er klart det finnes historiske eksempler på kontroversielle påstander som har blitt bevist sanne, men nøkkelforskjellen der er at de har blitt bevist sanne. Det betyr ikke at alle som har en ny idé nødvendigvis har rett fordi noen andre hadde rett om noe annet for lenge siden.

"De kjenner kanskje heller ikke til mengdelærens mange selvmotsigelser (også kalt paradokser). At mange tror på mengdelæren, selv etter at de har fått kjennskap til disse paradoksene er i seg selv et paradoks. Jeg sammenlikner en matematiker som fortsetter å tro på mengdelæren etter å ha fått påvist alle disse paradoksene med en kristen som fortsetter å tro på Gud uansett hvor mange grunner vedkommende får høre om at Gud ikke eksisterer.

De er kanskje heller ikke klar over at mengdelæren er en aksiombasert teori. Aksiomer er noe matematikere mener er selvinnlysende sant. Men det er slettes ikke selvinnlysende at uendelighetsaksiomet er sant. Det kan like gjerne være basert på ønsketenkning. Og at de fleste tror på dette aksiomet er ingen garanti for at det er sant. Det interessante i denne forbindelse er at om man fjerner dette aksiomet, får vi en mengdelære som er selvmotsigelsesfri. Og bør ikke dette være et etterstrebelsesverdig mål. Dette bør espen180 og Alex855 reflektere litt over."

Her tror jeg det er en forskjell på definisjonen av "aksiom" mellom de som er tilstrekkelig utdannet i feltet, og de som ikke er det. Det som virker selvinnlysende for noen (grunnet deres erfaring) kan selvfølgelig virke som vrøvl for andre som mangler grunnlaget.

"Før og etter at jeg skrev den nevnte boken har jeg korrespondert med mange matematikere. Blant annet én fra Sverige, én fra Danmark og én fra Nederland. Og utallige fra Norge. Den svenske matematikeren korresponderte jeg med i flere år. Han ville neppe ha gjort det hvis han ikke mente han hadde utbytte av diskusjonen. Jeg vil dele inn disse i tre grupper. Først de som blir kraftig provosert av at jeg påstår å ha funnet en feil i den matematikken de tror på. Jeg hadde bare kontakt med en av dem, han fra Nederland. Han kalte meg en vinkeltredeler og ting som var verre enn det. Men han klarte aldri å påvise hvor jeg tok feil. Og det var nok dette som irriterte ham. I denne gruppen har jeg nå fått to til, espen180 og Alex855. I den andre gruppen som er i stort flertall plasserer jeg de som i utgangspunktet var helt sikre på at de med letthet kunne overbevise meg om at jeg var ute på jordet, og derfor ga seg selv den oppgave og gi meg den riktige forståelsen av dagens mengdelære. Og mange fulgte meg til veis ende, hvor de blant annet måtte innrømme at Cantors diagonalmetode ikke holdt hva den lovet."

Det er fint at du opplever matnyttige diskusjoner, men hva har det med saken å gjøre? Dersom en svensk matematiker interesserer seg for saken, så må den være sann?

"Den norske matematikeren Mathias Barra var en meget sympatisk motstander fra denne gruppen. Men han måtte også til slutt innrømme at med de forutsetningene jeg gjorde, så var mine konklusjoner riktige. Jeg spurte om han kunne tenke seg å nevne dette i sin doktoravhandling, men det turte han ikke. Dvs. han uttrykte seg ikke akkurat slik, men det lå mellom linjene at han ville kunne ødelegge sine karrieresjanser på norske universiteter, hvis han kom med kjetterske uttalelser om mengdelæren.

På diskusjonsforumet til organisasjonen Skepsis initierte jeg for noen år siden en diskusjon nettopp om mengdelæren. Den gikk over nesten to måneder. Ingen av deltakerne var typiske gruppe-1-debattanter (det er tydeligvis ikke så mange slike og det får vi være glad for), men de fleste tilhørte gruppe to. Dette førte til en langvarig debatt og vi ble ikke enige om alt. En av mine argeste motstandere var Harald Hanche-Olsen som er førsteamanuensis ved Institutt for matematiske fag ved NTNU, Trondheim og har selv skrevet flere artikler om matematikk. Han kom med konstruktiv kritikk av noen av mine synspunkter, men på ett punkt synes det som om vi til slutt kom til enighet: om Cantors diagonalmetode. I sitt aller siste innlegg, etter at jeg hadde oppsummert mitt syn på diagonalmetoden skrev han:
«Jeg klarer ikke å finne noe å vri meg unna her. Tvert imot, du har vel på en grei måte gjort det tydeligere hvordan diagonalargumentet virker. Konklusjonen er jo nettopp den du hevder: At om vi skriver alle desimaltall under hverandre så blir den resulterende listen alt annet enn «kvadratisk», i den forstand at det er mange flere desimaltall enn det er siffer i hvert av dem».
Jeg tolker dette som om han går god for mine argumenter. For hvis diagonalmetoden svikter, ja så er mengdelæren moden for en kraftig revisjon."

Jeg er enig med Hanche-Olsens utsagn om at dersom diagonalmetoden svikter, så må mengdelæren revurderes. Men det er mange flere som må overbevises, og jeg er redd de eksisterende mot-argumentene ikke holder vann i den grad de burde gjøre det for å skape det paradigmeskiftet du er ute etter.

"Jeg kan også nevne at Simen Gaure er en av de som tok min teori alvorlig. Ellers ville han vel ikke skrevet en lang betraktning om min første bok «Det ufullkomne i matematikken». Han var selvfølgelig ikke enig i alt jeg skrev, og han ville ikke gi opp uendelighetsaksiomet, men han sa i alle fall at den mengdelæren som jeg fremmet vil være selvmotsigelsesfri. Han brukte akkurat disse ordene."

Det vil ikke være nærliggende for meg å hive ut uenigheter mot Simen Gaure. Men det blir litt som å prøve å argumentere mot en agnostiker. Han virker ikke helt overbevist, så det er lite å være (u)enig i. Det er klart at hvis du klarer å skape slike debatter, så finnes det noe å debattere. Det skal du ha. Og det vil være spennende å se om du klarer å overvise mange nok.

"I den tredje gruppen med meninger om mine bøker har vi de som, før de får kjennskap til bøkene, føler at det er noe galt med mengdelæren. Mange av disse kan være hva man kan kalle hobby-matematikere. De kan ha lest matematiske bøker i populær form og noen er kanskje matematikklærere. Og de risikerer ikke å ødelegge sine karrieremuligheter ved å tone flagg om deres syn på mengdelæren. Disse ønsker mine bøker velkommen og de uttrykker glede for at noen omsider er enige med dem om mengdelærens tvilsomme sider.

På min blogg john.einbu.no har jeg nettopp avsluttet innleggingen av seks poster. Til sammen utgjør de den norske versjonen av to artikler som ble publisert i International Journal of Mathematics and Mathematical Concepts sommeren 2014. I det første innlegget
http://john.einbu.no/2015/11/29/mot-en- ... ere-del-1/
vil man finne det beviset for at diagonalmetoden er feil som Hanche-Olsen kommenterte. Jeg inviterer nå espen180 og Alex855 til å lese dette innlegget og deretter forsøke å påvise hva som er feil i resonnementet. Altså hva både Hanche-Olsen og jeg overså. De kan også lese de etterfølgende fem innleggene som de også kan få komme med kommentarer til. Og jeg inviterer også flEinstein og andre til å gjøre det samme. Jeg synes det er trist at espen180 og Alex855’s helt ubegrunnede bakvaskelse ødela det som kunne ha blitt en interessant debatt på forumet. Disse to trodde tydeligvis de hadde funnet en matematiker som var dummere enn dem selv og at dette ga dem rett til å sjikanere meg. Å mobbe én som forsøker å skape en paradoksfri mengdelære syne jeg virker nokså bakstreversk og lite ærefullt.

Til slutt kan jeg nevne at jeg har en mastergrad i matematikk fra UiO. Når det gjelder karakterer som Alex855 er opptatt av, så legger jeg mer vekt på kreativitet enn på karakterer. Jeg har publisert 18 artikler i internasjonale tidsskrifter (med fagfellevurdering). Det kunne være interessant å høre hvor mange publikasjoner Alex855 har med sine tilsynelatende glimrende karakterer. Med den oppførsel han har vist vil jeg tippe han ikke har publisert en eneste slik artikkel. Og det gjelder kanskje også espen855. En diskusjon med dem vil da neppe være særlig givende."

Hvis du krever at jeg må gjøre publikasjoner for å komme opp på ditt nivå, så blir det litt arrogant. Da krever jeg til gjengjeld at du må lage 1000 video-forelesninger for å kunne overbevise meg om noe som helst.

Igjen, ser du hvor logikken bryter?

Og gjør meg en annen tjeneste; la det ikke sies at noen har mobbet deg her. Hvis du ikke tåler at ideene dine blir utsatt for kritikk, så burde du for lengst sluttet å publisere bøker og andre offentlige forfatterverk.

[John E]

Til Espen180
Ofte må man gjøre seg opp en mening om et medmenneske på et nokså spinkelt grunnlag. Det eneste jeg visste om deg inntil nylig var at du etter et nokså overfladisk kjennskap til en bok, kategorisk kunne slå fast at forfatteren ikke visste hva han snakket om. Noe av de slutningene jeg trakk om deg har jeg nevnt i mitt innlegg i dette forumet av 3. januar. Andre oppfatninger holder jeg for meg selv. Men på ett punkt tok jeg feil. Du har tydeligvis prestert noe i ditt liv som du er stolt av, du har produsent digitale læremidler som tydeligvis andre har gjort seg nytte av. Da synes jeg det er rart at det er så viktig for deg å ødelegge for andre som også forsøker å skape noe nytt. Det er vel janteloven som slår ut.

Enda merkeligere er det at du kan uttale deg så skråsikkert om en matematikkbok som du ikke har lest, når du selv ikke er matematiker. Dette viser vel at det er du som ikke vet hva du snakker om. Det var tydeligvis bare et spill for deg.

Du skriver til slutt: «…la det ikke sies at noen har mobbet deg her. Hvis du ikke tåler at ideene dine blir utsatt for kritikk, så burde du for lengst sluttet å publisere bøker og andre offentlige forfatterverk.» Her blander du begreper. Ordet «kritikk» bruker man når man argumenterer mot meninger og ideer, det du gjør er en personkarakteristikk, du påstår noe om min person. Og det er mobbing og ikke kritikk. Jeg brukte heller ikke ordet «mobbing» det ordet var det du som introduserte.

Jeg har deltatt i diverse debattfora, blant annet på Skepsis. I de fleste slike fora forekommer det enkelte som ødelegger klimaet med slike innlegg som du og Alex855 kommer med. Mange seriøse debattanter trekker seg da etter hvert ut av forumet og debattene dør ut. På Skepsis foregår det nå nesten ingen debatt lenger. Det kan gå dager uten noen nye innlegg.

Til de øvrige debattanter
Denne tråden startet altså med et forsøk på å starte en diskusjon om en matematikkbok som fremfører kjetterske meninger om enkelte sider ved matematikken som historisk sett har vært kontroversielle. Før diskusjonen kom i gang sto to bedrevitere under dekknavn frem med påstander om at forfatteren ikke vet hva han snakker om og at forfatteren har skrevet boken i frustrasjon over dårlige karakterer. Ingen av disse to hadde leste boken og det viste seg at den ene ikke var matematisk skolert og hadde derfor ingen forutsetning for å gjøre seg opp en mening om bokens mange påstander. Men disse to ble tydeligvis trodd av de andre debattantene og dermed døde, det som kunne ha blitt en interessant diskusjon, ut.
Her står vi overfor en mørk side ved sosiale medier. I nesten fire år har disse grunnløse beskyldningen ligget tilgjengelig for alle på et åpent debattforum. Jeg, som er forfatter av boken, fikk på den måten mitt navn svertet av disse to som trolig innkasserte dette som en seier for dem. Ingen andre debattanter synes å ha krevd dokumentasjon for deres påstander. Da jeg fikk kjennskap til denne tråden, forsøkte jeg i et tilsvar å renvaske meg, men tilsynelatende uten å ha lykkes. Espen189 føler tydeligvis ikke noen grunn til å unnskylde seg, tvert i mot han avslutter sine svarkommentarer med en belæring som essensielt går ut på at hvis jeg ikke tåler falske anklager og ubegrunnede personkarakteristikker, så burde jeg «…for lengst sluttet å publisere bøker ….» Han lever tydeligvis i sin egen verden og helt blind for den skade han har gjort

Jeg vet ikke om dette forumet har etiske normer for sine debattanter. Jeg ser at forumet har en vaktmester. Jeg mener denne vaktmesteren burde gi Espen180 og Alex855 gule kort for deres bidrag i denne tråden. Kanskje ikke først og fremst for den skade de har påført meg, den kan jeg godt leve med, men mer fordi de ødelegger debattklimaet. Å diskutere med slike som først og fremst angriper personer, blir veldig slitsomt i lengden.

Så min konklusjon er: la oss fra nå av diskutere meninger, ikke personer.

[Aleks855]

Jeg kan si meg enig i at det var feil av meg å gjøre slutninger om forfatteren basert på en kortfattet oppsummering av boka. Kanskje ikke Janteloven, men heller anonymitetsloven. Men det var faktisk talentløst av meg, og skadelig for debatten, og jeg beklager.

Når det gjelder slutningene jeg trakk om boka i seg selv, så har jeg vanskelig for å gjøre det samme. Men det kommer av det jeg har lest av et av dine blogginnlegg her: http://john.einbu.no/2013/04/01/en-natu ... /#more-106

I andre avsnitt innfører du en "realitet" der det finnes dobbelt så mange heltall som partall. I og for seg er dette et greit konsept, men det oppstår et problem; det er snakk om mengden av naturlige tall $\mathbb N$, som i utgangspunktet er uendelig stort. At vi da begynner å prate om at den ene uendelig store mengden har flere elementer enn den andre uendelig store mengden, så tolker jeg at du prøver å overbevise meg om at $2\cdot\infty > \infty$.

Deretter fortsettes det med "Siden dette synes mer naturlig enn at det er like mange partall som heltall slik det er i GML [...]". Dette er ren retorikk. Her bruker du "det jeg sier er helt åpenbart"-taktikken. Videre faller du også tilbake på "dette er intuitivt", "dette er åpenbart" og liknende utsagn, og det blir nesten fornærmende når det ikke er intuitivt eller åpenbart for meg.

En av de viktigste reglene jeg vet om det å formidle fagstoff, er at man skal ALDRI ALDRI ALDRI bruke "dette er åpenbart" og denslags, fordi når en leser/seer/elev/student sitter der og ikke helt henger med, så er det ikke en spesielt behagelig opplevelse å få vite at "dette burde du selvfølgelig skjønne".

Men nok om retorikken... Jeg er ikke overbevist om at mengden av naturlige tall har flere medlemmer enn mengden av partall. Etter hva jeg har lært om "uendelig" i matematisk analyse så blir det feil å betrakte "uendelig" som et tall, og allerede der blir det derfor vanskelig å bli med på resten.

Lengre ned, under "Den naturlige mengdelære i et nøtteskall", så innfører du også ideen om "det største heltallet". Det er mulig jeg har oversett noe, men jeg kan ikke se noe motargument for det enkleste beviset vi har for at det ikke finnes. Det er snakk om et bevis ved selvmotsigelse.

---

I et nøtteskall: Anta at det finnes et største heltall $n$. Adder $1$ med $n$. Dette blir et nytt heltall som er større enn det opprinnelige tallet $n$. Altså kan det ikke finnes et "største heltall".

---

Det eneste argumentet jeg kan se du har skrevet, er på skepsis-forumet, der du glimter til med følgende;

I min verden, dvs. i NML, kan man sammenligne endelige heltall og man kan sammenligne uendelige heltall. I din verden kan man sammenligne endelge heltall, men ikke uendelige. I din verden er alle uendelige heltall like store. Du lever i en fattigere verden.

Kilde: http://forum.skepsis.no/index.php/topic ... 6#msg58409

Jeg vet ikke hvor dette kom fra, men du anser vel ikke dette som et godt "og derfor har jeg rett"-argument? Jeg antar du har et litt mer... matematisk argument liggende?

[Aleks855]

Ang. bruken av ordet mobbing;

Å mobbe én som forsøker å skape en paradoksfri mengdelære syne jeg virker nokså bakstreversk og lite ærefullt.

Og gjør meg en annen tjeneste; la det ikke sies at noen har mobbet deg her.

Jeg brukte heller ikke ordet «mobbing» det ordet var det du som introduserte.

Så jo, det var nok du som introduserte begrepet i denne sammenhengen.

[espen180]

Det er svært synd at det måtte være en sammenligning med islamske ekstremister som markerer mitt første innlegg på en lang stund.

Jeg har lest dine blogg-innlegg og din samtale med professor Hanche-Olsen. La meg kun si at de bekrefter førsteinntrykket mitt. Jeg respekterer også professor Hanche-Olsen for meget til å la deg påstå at han på noen måte går god for dine påstander når virkeligheten er det stikk motsatte!

At en seriøs forfatter av matematisk litteratur bærer seg slik for noe en attenåring skriver på et anonymt forum sier kanskje også litt om modenhet. Jeg lar deg trekke din egen konklusjon.

Jeg ville også sette pris på en liste over dine matematiske publikasjoner. Jeg så at journalen som godtok bloggen din virker som av den "mindre fremragende" sorten som sender søppel-epost til akademikere i ny og ne, og godtar alt under himmelen for publikasjon. En publikasjon der vil nok ikke akkurat bedre ryktet ens som matematiker... La meg kun bemerke at det matematiske innholdet i bloggen din er elementært der det er korrekt og bak mål der det er nytt. Hvis målet ditt er å fremlegge en ny mengdelære vil jeg anbefale mer matematikk og mindre svada.

Det er sent og jeg er trøtt, så det overstående kan oppleves som noe unyansert. Hvis jeg er i godt humør, vil jeg kanskje påpeke hvor argumentet ditt for tellbarheten til tallinjen bryter sammen. Men siden du tydeligvis ikke tror på bijeksjoner av mengder, men heller ikke kommer med noe alternativ, vet jeg ikke om det er noe vits...

[JohnEinbu]

Til Alex855

Jeg noterer og setter pris på din beklagelse i første avsnitt. Da legger vi det bak oss.
Først en kommentar til den merkelige aversjon du har til ord som «åpenbart» o.l. Du skriver: «En av de viktigste reglene jeg vet om det å formidle fagstoff, er at man skal ALDRI ALDRI ALDRI bruke "dette er åpenbart" og denslags,,,,». Det pussige her er at i de seks innleggene i min blogg som jeg referer til, så har jeg ikke brukt ordet «åpenbart» en eneste gang. Og jeg har tatt vare på alle mine innlegg om mengdelæren på Skepsis-forumet og heller ikke der vil du finne at jeg har brukt dette ordet. De sterkeste uttrykkene jeg har brukt i mine blogg-innlegg i denne sammenheng er «og dette virker jo fornuftig» og «det er lett å se». Og man skal ikke lese mye i matematikkbøker før man finner slike uttrykk. Når en forfatter forklarer et bevis eller noe liknende, så kommer han til et punkt hvor han mener at resten er helt opplagt. Da vil han kunne skriver «Det er lett å se…» eller noe tilsvarende. Så her er du litt på vidvanke, hvis din belæring var rettet mot meg.
Du gjengir beviset for at det største heltallet ikke finnes. Og som du ganske riktig sier så er dette et bevis ved selvmotsigelse. Men du skiller ikke mellom Cantors mengdelære og den paradoksfrie mengdelære som jeg foreslår. For i den sistnevnte mengdelære gjelder ikke dette beviset. For jeg påstår ingen steder i de 6 innleggene om den foreslåtte paradoksfrie mengdelæren i min blogg at det er mulig å samle alle naturlige tall i en mengde og at denne mengden har et største heltall. Hvis du leser det siste innlegget i denne serien vil du se at jeg skriver:

«For i stedet for å postulere at det største naturlige tallet ikke finnes, men at alle naturlige tall likevel kan samles i en mengde, kan man postulere at det største naturlige tallet finnes, men at alle de naturlige tallene ikke kan samles i en mengde. Man blir altså aldri ferdig med å danne en slik mengde». Jeg avsluttet avsnittet med en setning til som jeg herved gjør litt klarere: Eller mer generelt: elementer det er uendelig mange av vil ikke kunne samles i en mengde og vil derfor aldri kunne inneholde det siste elementet i mengden.»

Jeg sier altså at det største naturlige tallet kan finnes, men man kan ikke nå det på noen som helst måte. Man kan derfor ikke samle alle disse tallene i en mengde og man kan heller ikke legge rallet 1 til et tall som man ikke klarer å nå. Dette er selvfølgelig vanskelig å godta for en som er blitt indoktrinert i gjeldende mengdelære, men for meg er det lettere å godta dette enn å godta at alle naturlige tall kan samles i en mengde, men at denne mengden ikke har et største tall. Dette siste virker fullstendig ulogisk for meg. Hvordan er det mulig å samle absolutt alle heltall i en mengde uten at denne mengden har et høyeste tall? For meg er det vanskeligere å tro på dette enn det er å tro på at den kristne guden eksisterer. Hvis det for deg er opplagt at Cantor har rett her, så skulle jeg ønske at du vil forklare meg hvordan dette er mulig.

Nå har du selv satt deg i en litt vanskelig situasjon. Siden ordet «åpenbart» er et tabuord for deg, så kan du ikke si at det er helt åpenbart for deg at uendelighetsaksiomet til Cantor må være gyldig. Da burde det kanskje være lettere for deg enn for matematikere flest å godta mitt foreslåtte uendelighetsaksiom. Og du kan da i alle fall ikke si at for deg er mitt uendelighetsaksiom åpenbart helt feil. Det blir spennende å se hvordan du vil ordlegge deg her. Ha også i minnet at en mengdelære basert på dette foreslåtte uendelighetsaksiomet vil være fri for paradokser.

............
Til en matematiker under utdannelse.

Jeg ber deg reflektere litt over Cantors uendelighetsaksiom. Og spør deg selv: hvordan er det mulig å kunne samle alle heltall i en mengde uten at denne mengden har et høyeste tall? Prøv å begrunne eller sannsynlighetsgjøre dette. Jeg er 100 % sikker på at du ikke klarer med rimelighetsbetraktninger eller på annen måte å gjøre dette troverdig. Hvis man samler et endelig antall heltall i en mengde, så er det opplagt for alle (beklager Alex855) at det må finnes et tall i denne mengden som er større enn alle de andre tallene i denne mengden. Hvorfor skulle det være annerledes hvis det dreier seg om en uendelig mengde? Dette er helt uforståelig.

Men hvorfor tror hele matematikerstanden på dette? Hvorfor synes ingen å stille spørsmål om hvordan dette kan være riktig? En grunn kan være at matematikerne ønsker å gjøre uendelige mengder håndterbare. Det oppnår de ved å forutsette at alle elementer av en kategori det er uendelig mange av kan samles i en mengde. Og siden de ønsker dette så sterkt, så har de intet annet valg enn å anta at en uendelig mengde ikke har et siste element. Den mest sannsynlige grunnen er nok likevel at ingen har foreslått noe alternativ. De aksepterer en fullstendig ulogisk løsning fordi ingen andre løsninger er tilgjengelige. Men du som leser dette innlegget vet at dette ikke er tilfelle. Det finnes et alternativ. Og dette alternativet er logisk, troverdig og, det beste av alt, dette alternative uendelighetsaksiomet vil kunne ligge i bunnen av en ny mengdelære som er fri for paradokser. Og i denne mengdelære vil det heller ikke være like mange primtall som heltall. Og dermed får vi en matematisk teori om mengder uten de absurde egenskapene som den gjeldende mengdelære besitter.

Du kan selvfølgelig ignorere, motarbeide eller nekte å tro på dette. Det kan føles mest behagelig for da er du trygt en del av flertallet. Men hvis du er i en fase av din utdannelse der du er på leting etter et emne til en hovedoppgave eller doktoravhandling, kan du også vurdere å prøve å finne ut hvordan en helt ny mengdelære bygget på det foreslåtte nye uendelighetsaksiomet vil se ut. Hvis du tør å ta sjansen på dette vil du kunne tre ut av den anonyme rekken du trolig er i nå, og skaffe deg et navn som en av de som bidrar til et paradigmeskifte i matematikken. Problemet blir selvfølgelig å få veilederen til å godkjenne dette emnet.

Hvis du vil vurdere dette, skal jeg sende deg de to matematikkbøkene jeg har skrevet.

************
Til Espen180.

Du er fullstendig på villspor. Jeg referer ordrett et innlegg av professor Hanche-Olsen på Skepsis-forumet og du nekter for at dette finnes. Å diskutere med slike som deg er erfaringsmessig helt håpløst. Du får bare fortsette å leve i den egen verden. Innlegget ditt fortjener ikke ytterligere svar.

[Aleks855]

så har jeg ikke brukt ordet «åpenbart» en eneste gang

Ordet har synonymer. At du har saumfart dine egne innlegg etter dette spesifikke ordet er faktisk latterlig. "Det er lett å se", "det er inuitivt" og liknende utsagt bærer samme budskap. Men igjen blir denne diskusjonen en meta-debatt fordi du plukker det jeg sier fra hverandre for å svare på utsagn ut av sammenhengen.

For i stedet for å postulere at det største naturlige tallet ikke finnes

Vel, nå har jo dette "postulatet" en rekke matematiske bevis, så at du kaller det en postulering er ren retorikk.

men at alle naturlige tall likevel kan samles i en mengde

Ja, en mengde med uendelig mange elementer. Du prøver å visualisere deg en mengde med alle de naturlige tallene, der du kan peke på det største. Men siden mengden har uendelig mange elementer er sannsynligheten for å finne dette elementet lik null. Det blir som å prøve å flislegge et gulv med flis som har en positiv lengde, men 0 bredde. Du må ha uendelig mange av dem. Vil du kunne fullføre jobben?

For i den sistnevnte mengdelære gjelder ikke dette beviset

Og grunnen til at du ikke får det medholdet du er ute etter, er fordi du vifter vekk matematiske bevis, uten å vise dine egne. Du bare skaper en verden der ting er slik du forestiller deg at det burde være. Og det blir som å diskutere med en religiøs fanatiker. "Jo, Gud fins. Bevis? Nei, du må motbevise det. At du ikke klarer å motbevise det, er bevis for at Gud finnes."

Dette er selvfølgelig vanskelig å godta for en som er blitt indoktrinert i gjeldende mengdelære

"1+1 er faktisk lik 3, men det vil være vanskelig å godta for deg, som er indoktrinert i gjeldende aritmetikk". Igjen, retorikk i mangel på matematiske bevis.

Dette siste virker fullstendig ulogisk for meg. Hvordan er det mulig å samle absolutt alle heltall i en mengde uten at denne mengden har et høyeste tall?

Fordi du forestiller deg en mengde som en sekk som kun har plass til et visst antall gjenstander. Men en mengde kan være uendelig stor, og ha uendelig mange elementer, og hver gang du tror du har funnet det største, så vil $n+1$ bevise at det finnes et annet element der inne som er hakket større.

For meg er det vanskeligere å tro på dette enn det er å tro på at den kristne guden eksisterer

Et underlig bidrag til debatten. Kanskje du ville hatt mer medvind med teoriene dine i midt-østen eller Kina?

Hvis det for deg er opplagt at Cantor har rett her, så skulle jeg ønske at du vil forklare meg hvordan dette er mulig.

Det virker som du betrakter konseptet "uendelig" på en annen måte enn de fleste. Ja, det er slik de fleste paradigme-skiftende teoriene oppstår, men som sagt, du må fylle ut med matematikk. Fokuser på å bygge under dine egne påstander med matematikk, i stedet for å kun gå til angrep på de eksisterende teoriene.Nei, det var faktisk ikke en vanskelig situasjon i det hele tatt.

Du kan selvfølgelig ignorere, motarbeide eller nekte å tro på dette. Det kan føles mest behagelig for da er du trygt en del av flertallet.

Jeg må repetere mine argumenter fordi du repeterer dine, men grunnen til at jeg benekter dine påstander, er fordi det eneste du har gjort klart, er at det er uforståelig for DEG at Cantors uendelighetsaksiom kan være sant. Du ber MEG om å bevise det for DEG, og hvis JEG ikke klarer å bevise det, så må DU ha rett. Logisk sammenbrytning. Mangel på motbevis, er ikke et bevis.

Og jeg biter meg spesielt merke i at du fullstendig ignorerte plutarcos innlegg, som faktisk inneholdte matematikk. Det i seg selv sier mye.

[jon einbu]

La oss se på noen logiske resonnementer om mengdelæren:

1. Cantor gjør følgende forutsetning: Det er mulig å samle alle heltall i en mengde. La oss kalle denne mengden for A.
2. Enhver samling av heltall må ha ett tall som er større enn alle de andre tallene i mengden.
3. Mengden A må derfor inneholde et tall som er større enn alle de andre tallene i mengden. La oss kalle dette tallet N.
4. Siden N er større enn alle de andre tallene i A og A inneholder absolutt alle heltallene, så må N være det aller største heltallet.
5. Men N + 1 må også være et tall. Og dette tallet må være større N.
6. Men da kan ikke N være det største tallet i A. Vi kan ikke ha to tall N og N + 1 som begge er det største tallet i A.
7. Siden vi her har støtt på en selvmotsigelse, så må en av forutsetningene være feil.
8. Siden vi har gjort bare en forutsetning, nemlig den under punkt 1, så må denne forutsetning være feil.
9. Konklusjon: Cantor tok feil: det er ikke mulig å samle alle heltall i en mengde.

Nå vil en matematiker med et desperat behov for å forsvare sine doktriner, kunne si at det er slutningen under punkt 2 som er feil. Det er jo det Cantor påstår. Han sier at det i alle fall finnes én mengde av heltall som ikke har et største tall, nemlig mengden av alle heltall. Cantor godtgjorde aldri denne antagelsen på en overbevisende måte. Beviset hans gjelder bare hvis man på forhånd kan være sikker på at mengden av alle heltall finnes og det er jo det vi setter spørsmålstegn ved her. La oss da se på et annet resonnement.

1. La oss danne den uendelige mengden av alle heltall ved å føye til ett og ett heltall til mengden i oppadstigende rekkefølge.
2. La oss anta at vi klarer å avslutte denne dannelsesprosessen.
3. Uansett når vi avslutter denne prosessen, så må det siste tallet som vi føyer til mengden like før vi stopper opp være det største tallet i mengden.
4. Dermed ser vi at vi ikke kan avslutte dannelsen av denne mengden uten at mengden får et høyeste tall.
5. Den eneste måten man kan unngå at en mengde av heltall får et høyeste tall, er å fortsette å føye til tall i det uendelige.
6. Men da blir vi aldri ferdige. Og det er nettopp det det foreslåtte aksiomet påstår.
7. Konklusjon: Man når altså aldri det siste og største heltallet. Derfor kan ikke mengden av alle heltall dannes og kan derfor ikke finnes.

Den virkelige desperate matematiker vil da kunne påstå at hvis vi danner den uendelige mengden på en annen måte enn angitt i punkt 1, så kanskje vi finner ut at Cantor har rett. La oss gjøre et forsøk:


1. La oss anta at den uendelige mengden av alle heltall kan dannes i en eneste operasjon.
2. For å kunne plassere alle heltallene samlet i en mengde i en eneste operasjon, må samlingen av alle disse heltallene være tilgjengelige ett eller annet sted på utsiden av mengden.
3. For å kunne samle alle heltallene ett sted (i en mengde) må de altså på forhånd eksistere samlet et annet sted (på utsiden av mengden).
4. Men for at heltallene skal kunne eksistere samlet på sted nr. 2 må de på forhånd ha vært overført fra et sted nr. 3 osv.
5. Vi står da overfor en uendelig regress som aldri vil kunne avsluttes.
6. Konklusjon: Den uendelige mengde av alle heltall kan ikke dannes i en eneste operasjon.

Enkelte kristne tenkere har gjennom historien kommet med følgende uttrykk i fortvilelse over at de ikke har funnet et endelig bevis på at Gud eksisterer: Jeg tror på Gud fordi det er absurd. De matematikere som fremdeles holder fast ved Cantors mengdelære kan nå klynge seg til et tilsvarende uttrykk: Jeg tror på Cantors uendelighetsaksiom fordi det er absurd. Noe bedre argument tror jeg ikke de klarer å finne.

Til Alex855
Dette er ikke et svar på ditt siste innlegg. Jeg merker meg det du skriver, men det inneholdt ikke noe nytt, så intet av det forandrer min mening om mengdelæren. Og det hadde du vel heller ikke ventet. Jeg skal lese igjennom innlegget ditt en gang til for å se om det er noe der som fortjener en kommentar.

[Aleks855]

1. Cantor gjør følgende forutsetning: Det er mulig å samle alle heltall i en mengde. La oss kalle denne mengden for A.

Allerede her svikter matematikken deg. Du ser tydeligvis ikke forskjellen på en lukket mengde og en åpen/halvåpen mengde.

Hadde Cantor beskrevet en lukket mengde, ville du hatt rett. Men mengden av naturlige tall er en halvåpen mengde. Den har et minste element, men ikke et største.

Resten av argumentasjonen din faller i hullet av første steg.

Jeg adopterer din diskusjonsteknikk, og lar være å lese resten av innlegget ditt. Det er basert på vranglært matematikk og fortjener neppe respons.

[Kjemikern]

Til: John Einbu


Jeg bare lurer på en ting, hvor mange har godtatt teorien din? Og hvorfor blir du "såret" når folk ikke godtar hva DU mener er riktig?

[John Einbu]

Til Alex855

Mengdeteoretikerne har gjennom historien valgt følgende utvei for å komme unna problemer de er blitt konfrontert med: «Erstatt et begrep som har et presist innhold med et begrep med et mer obskurt innhold, dette vil kunne komplisere teorien så mye at det blir vanskeligere å påvise feil ved den». De har derfor valgt ordet «paradoks» istedenfor «selvmotsigelse», for da vil matematikere lettere akseptere selvmotsigelsene. Og hvis man sier at mengden av alle primtall har samme kardinaltall som mengden av heltall, ja så er det lettere å tro på at det er like mange primtall som heltall. Og du har kommet med et tredje eksempel: skill mellom lukkede og åpne/halvåpne mengder og det vil ikke se så merkelig ut at det største heltallet ikke finnes. Ethvert slikt kompliserende begrep som tilføres mengdelæren vil øke lærens immunforsvar. Det blir vanskeligere å påvise feil i den. Men om dette er en respektabel måte å forsvare en teori på er en annen sak. Jeg vil heller kalle det juks.

Du skriver at hvis Cantor snakket om lukkede mengder, så har jeg rett om at han tok feil. Ingen steder i de bøkene om mengdelære som jeg har lest står det noe om at Cantor skilte mellom lukkede, åpne og halvåpne mengder. Han bare snakket om mengder eller det du kaller lukkede mengder. Så at Cantor tok feil når det gjelder eksistensen av uendelige menger og av det største heltallet er vi da begge enige om. Og det er jo hyggelig. Det er mulig at man i nyere bøker (jeg er pensjonist og ikke helt ajour) har innført disse nevnte betegnelsene på mengder. Men dette begynner jo å likne på de uendelige mengdene jeg snakker om. Mengder man kan fylle på med elementer i det uendelige. De lukkes aldri, for påfyllingen tar aldri slutt. Og da kan det være en smakssak om disse mengdene har et siste element eller ikke. Det siste elementet nås ikke uansett. Dette var en interessant nyhet. Nå vil du helt sikkert si at vi ikke mener det samme her. Men da er jeg veldig spent på å få høre hva du virkelig mener. Du kan ikke bare komme med halvkvedede viser.

Men husk: dette eliminerer neppe alle problemer og eiendommeligheter i mengdelæren. Paradoksene vil vel fortsatt være der for eksempel.

[Aleks855]

En ting jeg liker med dette forumet, er at jeg ofte er den med minst matematisk utdanning. I løpet av de årene jeg har besøkt dette forumet har jeg alltid dratt til meg den lærdommen de andre, med overlegen utdanning, byr på. Men et kjennetegn er at de alltid underviser matematikk ved hjelp av matematikk, og ikke ved å bare si "ser du ikke at dette blir rett? Hvorfor kan du ikke se det? Se det da! Kom igjen da!"

Før vi fortsetter vår sirkulære diskusjon, kan du i det minste prøve å svare på plutarcos innlegg? Det begynner å bli trasig å diskutere matematikk med en matematiker som ikke bruker matematikk.

[Gjest]

En ting jeg liker med dette forumet, er at jeg ofte er den med minst matematisk utdanning. I løpet av de årene jeg har besøkt dette forumet har jeg alltid dratt til meg den lærdommen de andre, med overlegen utdanning, byr på. Men et kjennetegn er at de alltid underviser matematikk ved hjelp av matematikk, og ikke ved å bare si "ser du ikke at dette blir rett? Hvorfor kan du ikke se det? Se det da! Kom igjen da!"

Før vi fortsetter vår sirkulære diskusjon, kan du i det minste prøve å svare på plutarcos innlegg? Det begynner å bli trasig å diskutere matematikk med en matematiker som ikke bruker matematikk.

Tro meg, det er nok noen et par hakk under deg igjen også . Angående John sitt forsøk på å overbevise dere andre til å konvertere til sin nye doktrine synes jeg det er forståelig at han ikke anvender ordinære metoder ettersom det ville vært svært krevende å diskutere mot det veldet av matematisk kompetanse på deres egen hjemmebane (nå kan man jo diskutere hvorvidt det faktisk er nødvendig å overbevise noen på hjemmebane før man får dem med over til sine bane men men). Slik jeg forstår det diskuterer han ideen som legger grunnlaget for matematikken og ikke matematikken i seg selv (siden hvem kan vel motsi at 1+1=2?)

Stå på John, jeg synes det er spennende at du prøver å argumentere mot så veletablert kunnskap. Jeg er ikke helt overbevist selv, men jeg synes du legger opp til en fruktig og god diskusjon som jeg har stor glede av å lese (takk til espen, alex og dere andre også). Når det er sagt synes jeg du kan roe deg litt ned og at du setter en noe aggressiv undertone for denne debatten ved å la være å svare på seriøse innlegg fra meningsmotstanderne dine som ikke "opprettholder din standard for argumentasjon" og ved å bruke uttrykk som "desperate matematikere" om opposisjonen for å rakke ned på dem. Jeg skjønner godt at du ikke svarer "trolls" som sier "lol, du suger" eller noe i den gården, men seriøse innlegg synes jeg selv personen med nesa høyest i sky kan ta seg tid til å skrive et par setninger i respons til om ikke bare for å være hyggelig.

[Gustav]

1. Cantor gjør følgende forutsetning: Det er mulig å samle alle heltall i en mengde. La oss kalle denne mengden for A.

Allerede her svikter matematikken deg. Du ser tydeligvis ikke forskjellen på en lukket mengde og en åpen/halvåpen mengde.

Hadde Cantor beskrevet en lukket mengde, ville du hatt rett. Men mengden av naturlige tall er en halvåpen mengde. Den har et minste element, men ikke et største.

Resten av argumentasjonen din faller i hullet av første steg.

Jeg adopterer din diskusjonsteknikk, og lar være å lese resten av innlegget ditt. Det er basert på vranglært matematikk og fortjener neppe respons.

Litt flisespikkeri, men her er jeg ikke helt enig i måten begrepet "lukket" er brukt. Det er klart at $\mathbb{N}$ (inklusive $0$), som delmengde av $\mathbb{R}$, er lukket. Bevis: $\mathbb{N}= \mathbb{R}\setminus {\cup_{n\in\mathbb{N}}} (n,n+1) \cup (-\infty, 0)$ er lukket siden enhver union av åpne mengder er åpen, og komplementet av en åpen mengde er lukket.

EDIT: rettet feil