matematikk.net

Ser for meg en funksjon f(x) som henger sammen, og er kontinuerlig for alle x, men som er uendelig "taggete" og dermed ikke deriverbar for noen x. Finnes det en slik funksjon som er lettfattelig og/eller analytisk?

Aleks855 skrev:Ser for meg en funksjon f(x) som henger sammen, og er kontinuerlig for alle x, men som er uendelig "taggete" og dermed ikke deriverbar for noen x. Finnes det en slik funksjon som er lettfattelig og/eller analytisk?

http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function ?

(skal ikke skryte på meg at jeg vet så mye mer om Weierstrassfunksjoner enn at de finnes)

Aleks855 skrev:Ser for meg en funksjon f(x) som henger sammen, og er kontinuerlig for alle x, men som er uendelig "taggete" og dermed ikke deriverbar for noen x. Finnes det en slik funksjon som er lettfattelig og/eller analytisk?

En slik funksjon vil uansett ikke kunne være analytisk siden en analytisk funksjon per definisjon kan skrives som en konvergent Taylorrekke i en omegn om hvilket som helst punkt i domenet, og er uendelig deriverbar.

Anbefaler den her som sengelektyre
http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320 ... 320-SE.pdf

Relativt lettlest. Merk at funksjoner som er kontinuerlige
og ikke deriverbare er mye mer vanlig enn kontinuerlige funksjoner.
Tilsvarende så er generelle funksjoner som hverken deriverbar
eller kontinuerlige mye mer vanlig enn disse igjen.

En personlig favoritt er



Merk at kurven som ikke der deriverbar er grensetilfellet
når $n$ går mot uendelig. Ellers så er Koch snøflak noe som kan hjelpe på intuisjonen.

På hvilken måte kan disse kalles funksjoner? Har man uttrykk man kan representere disse fraktalene med?

Mens vi koser med moteksempler, her er en funksjon som er glatt (uendelig mange ganger deriverbar) med ikke analytisk i noe punkt.
$$ F(x) = \sum_{k=1}^{\infty} e^{-\sqrt{2^k}}\cos(2^k x)$$
Se her.