Er det slik at $ \sum_{i=k}^{k} i = k $? Altså at man bare har ett ledd i summen dersom startverdi = sluttverdi?
Og går det an å ha lavere sluttverdi enn startverdi? Altså, kan man tolke $ \sum_{i=k}^{k-3} i $ på noen måte? Eller er det udefinert?
To kjappe spørsmål om $\sum$
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Som regel definerer vi tomme summer til å være 0, og tomme produkt til å være 1
Første sum er $k$ ja, fordi du begynner på $k$ og slutter på $k$.
Siste summen går helt fint, da teller en bare nedover i stedet for oppover.
Ofte mye brukt når vi snakker om uendelige summer og slikt. Eksempelvis
$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{z+k}
& = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=-n}^n\frac{1}{z+k} \\
& = \lim_{n\to\infty}\frac1z+\sum_{k=1}^n \frac{1}{z-k}+\frac{1}{z+k} \\
& = \frac1z+\sum_{k=1}^\infty\frac{2z}{z^2-k^2} \\
& = \pi\cot(\pi z)
\end{align*}
$
Husk at du står fritt til å skifte index som det passer seg
$ \hspace{1cm}
\sum_{i=k}^{n} a_{i} = \sum_{i=k+p}^{n + p} a_{i-p}
$
Hvor $p \in \mathbb{Z}$ kan velges fritt.
Første sum er $k$ ja, fordi du begynner på $k$ og slutter på $k$.
Siste summen går helt fint, da teller en bare nedover i stedet for oppover.
Ofte mye brukt når vi snakker om uendelige summer og slikt. Eksempelvis
$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{z+k}
& = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=-n}^n\frac{1}{z+k} \\
& = \lim_{n\to\infty}\frac1z+\sum_{k=1}^n \frac{1}{z-k}+\frac{1}{z+k} \\
& = \frac1z+\sum_{k=1}^\infty\frac{2z}{z^2-k^2} \\
& = \pi\cot(\pi z)
\end{align*}
$
Husk at du står fritt til å skifte index som det passer seg
$ \hspace{1cm}
\sum_{i=k}^{n} a_{i} = \sum_{i=k+p}^{n + p} a_{i-p}
$
Hvor $p \in \mathbb{Z}$ kan velges fritt.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Jeg trodde det var vanlig å betrakte summen/produktet som tom hvis sluttverdien var lavere enn startverdien, dvs. løpevariabelen er alltid stigende.Nebuchadnezzar skrev:Siste summen går helt fint, da teller en bare nedover i stedet for oppover.