Vet dessverre ikke når eksamensresultatet kommer. Men vi kan løse noen av oppgavene:
Del 1:
Oppgave 1:
a) [tex]\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}(3\ln{(x+2))} = 3\cdot \frac{d}{dx}\ln{(x+2)}, \;\; \text{la $u=x+2$} \;\; \Rightarrow \;\; 3\cdot \frac{d}{dx}\ln u \cdot \frac{d}{dx}u = \frac{3}{x+2}[/tex], ved kjerne-regelen.
b) [tex]\frac{d}{dx}g(x)=[\frac{d}{dx}x \cdot \ln{(3x)}] = [\frac{d}{dx}x ]\cdot \ln{(3x)}+[\frac{d}{dx}\ln{(3x)}]\cdot x = \ln{(3x)}+3\cdot\frac{1}{3x}\cdot x=\ln{(3x)}+1[/tex], ved kjerne-regelen og produkt-regelen
Oppgave 2:
Brøken [tex]\frac{x^{3}-2x^{2}-3x}{x-3}[/tex] kan forkortes kun dersom telleren er et produkt av nevneren. Mao: Dersom funksjonen [tex]f(x)=x^{3}-2x^{2}-3x[/tex] har en løsning [tex]f(3)=0[/tex]:
[tex]f(3)=3^{3}-2\cdot3^{2}-3\cdot3=3^{3} - 2\cdot3^{2}-3^{2}=3^{3}-3\cdot3^{2}=3^{3}-3^{3}=0[/tex]. Brøken kan forkortes.
Vi kan forkorte brøken enten ved å utføre polynomdivisjonen, eller ved å "se" faktoriseringen. Merk at [tex](x+1)(x-3)=x^{2}-2x-3=\frac{f(x)}{x} \; \; \Rightarrow \;\; \frac{x^{3}-2x^{2}-3x}{x-3}=\frac{x(x+1)(x-3)}{x-3}=x(x+1), \; x\neq 3[/tex]. Du kunne selvsagt også bare faktorisert ut x, og benyttet andregradsformelen på telleren. Eller eventuelt bare dividert telleren med x-3 fra begynnelsen av, siden vi allerede har bekreftet at x=3 er en løsning. Her er det mange veier til Rome.
Oppgave 3:
a) La oss faktorisere ut [tex]a[/tex]: [tex]a\cdot [\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}][/tex]
Her ser vi at summen kan skrives som: [tex]a\cdot \sum_{n=0}^{n-1}\frac{1}{2^{n}}[/tex]
b) Husk at en sum på formen [tex]\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}[/tex] konvergerer dersom [tex]|r|<1[/tex]. Siden [tex]\frac{1}{2^{n}}=\frac{1^{n}}{2^{n}}=(\frac{1}{2})^n<1 \;\; \text{for alle $n>0$, konvergerer rekken}[/tex]
c) [tex]\sum _{n=0}^{\infty }r^n = \frac{1}{1-r}\text{, her er $r=\frac{1}{2}$} \;\; \Rightarrow \;\; a\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=a\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=a\cdot 2[/tex].
[tex]a\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=10 \;\; \Leftrightarrow \;\; a=\frac{10}{2}=5[/tex]
Oppgave 4
a) La oss først faktorisere ut [tex]x: \;\;\; f(x)=x(x^{2}-6x+9)[/tex] Her kan vi benytte oss av andregradsformelen. Jeg "ser" løsningen (obs: [tex]-3-3=-6 \;\; \text{OG} \;\; -3\cdot-3=9[/tex]):
[tex]\Rightarrow f(x)=x(x-3)^{2}. \;\;\; \text{Når} \;\; f(x)=0 \;\; \Rightarrow \;\; x=0 \; \vee \; x=3[/tex]
b) Vi har at et stasjonært punkt eksisterer der [tex]\frac{d}{dx}f(x)=0:[/tex]
[tex]\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}[x^{3}-6x^{2}+9x]=3x^{2}-12x+9=3(x-3)(x-1)[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{d}{dx}f(x)=0\text{ når }x=3 \; \vee \; x=1[/tex]
Vi gjør oss en simpel fortegnsanalyse, og observerer at når [tex]x>3[/tex] er begge faktorene positive, når [tex]1<x<3[/tex] er den ene positiv og den andre negativ, og når [tex]x<1[/tex] er begge faktorene negative.
Dette betyr at grafen [tex]f(x)[/tex] stiger i intervallet [tex]x\in(-\infty,1)[/tex], synker i intervallet [tex]x\in(1,3)[/tex] og igjen stiger i intervallet [tex]x\in(3,\infty)[/tex]
Mao. er det ingen topp-punkt eller null-punkt. Grafen har verdimengde [tex]V_{f}=(-\infty,\infty)[/tex]. Derimot har den de to stasjonære punktene ved [tex]x=1[/tex] og [tex]x=3[/tex]. Plotter vi disse verdiene inn, får vi at
[tex](1, f(1))=(1,4)[/tex] og [tex](3, f(3))=(3,0)[/tex]
c) Vi har vendepunkter der [tex]\frac{d}{d^{2}x}f(x)=0 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \frac{d}{dx}[3x^{2}-12x+9]=0 \;\; \Leftrightarrow \;\; 6x-12=0 \;\; \Rightarrow x=\frac{12}{6}=2[/tex]
Vi plotter dette inn, og får at vendepuntet er ved [tex](2,f(2))=(2,2)[/tex]
d)
- f(x)=x^{3}-6x+9x
- Grafoppgave4.png (19.23 kiB) Vist 9019 ganger
Oppgave 5
a) Siden vi vet at linjen [tex]y=2.06x+960[/tex] tangerer grafen [tex]y=k(x)[/tex] i punktet [tex]A[/tex] hvor [tex]x[/tex] forøvrig er [tex]400[/tex], har vi at [tex]E_{K}=\frac{K(x)}{x}=\frac{2.06\cdot 400+960}{400}=4.46[/tex]
b) Wikipedia forteller meg at en grensekostnad er kostnaden av å produsere én enhet til. Eller, den deriverte av enhetskostnaden i det eksakte punktet hvor grensen oppstår (i punktet [tex]A[/tex]). Jeg er ingen økonom, og vet ingenting om hvordan disse begrepene egentlig skal tolkes, men i og med at linjen [tex]y=2.06x+960[/tex] tangerer enhetskostnadfunksjonen i dette punktet, vil jeg anta at dette løses ved å derivere denne linjen:
[tex]\frac{d}{dx}[2.06x+960]=2.06[/tex]
c) Her har jeg ikke nok kunnskap om begrepene til å fortsette.
Vi får la det gå med dette for nå, og heller komme tilbake til resten en annen gang.