matematikk.net

Jeg prøvde meg på denne oppgaven:

Vis at det ikke finnes noen funksjon $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ slik at $f(f(x))=x+1$ for alle $x$.

og kom plutselig på at noe sånt burde funke: $f(x)=x-1$ hvis $x$ er et oddetall, $f(x)=x+2$ hvis $x$ er et partall. Men dette er kanskje ikke en funksjon, ihvertfall ikke en slik de er ute etter? Isåfall, hva er egentlig en funksjon, og hvilke typer funksjoner regner man med når man løser funksjonalligninger? Har sett/hørt den definisjonen "...kobler et input til et output osv", men det gjør jo forsåvidt "funksjonen" min ovenfor også Hadde satt pris på litt forklaring her, dumt å ha slike hull...

stensrud skrev:Jeg prøvde meg på denne oppgaven:

Vis at det ikke finnes noen funksjon $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ slik at $f(f(x))=x+1$ for alle $x$.

og kom plutselig på at noe sånt burde funke: $f(x)=x-1$ hvis $x$ er et oddetall, $f(x)=x+2$ hvis $x$ er et partall. Men dette er kanskje ikke en funksjon, ihvertfall ikke en slik de er ute etter? Isåfall, hva er egentlig en funksjon, og hvilke typer funksjoner regner man med når man løser funksjonalligninger? Har sett/hørt den definisjonen "...kobler et input til et output osv", men det gjør jo forsåvidt "funksjonen" min ovenfor også Hadde satt pris på litt forklaring her, dumt å ha slike hull...

Funksjonen du har definert er helt ok.

Problemet er at den ikke tilfredsstiller funksjonallikningen for x=0: Bruker vi din funksjon er $f(f(0))=f(2)=4\neq 1$,

Ups. Den funker ikke for noen partall...

Det er for øvrig lett å vise at $f(0)=\frac12\not\in\mathbb{Z}$:

Likningen impliserer at $f(f(f(x)))=f(x)+1=f(x+1)$.
Induksjon gir at
$f(x)=f(0)+x$
så
$f(f(0)+x)=x+1$
$f(0)+f(0)+x=x+1$
$f(0)=\frac12$

Altså fins det ingen funksjoner $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ som oppfyller likningen.

Takk skal du ha, synes slike typer oppgaver er ganske vanskelige. For å lære å løse de, er det å gjøre masse oppgaver som gjelder, eller finnes det teoristoff som burde gjennomgås først? Har veldig lyst til å lære meg dette.

stensrud skrev:Takk skal du ha, synes slike typer oppgaver er ganske vanskelige. For å lære å løse de, er det å gjøre masse oppgaver som gjelder, eller finnes det teoristoff som burde gjennomgås først? Har veldig lyst til å lære meg dette.

Her er det endel tips og oppgaver : http://www.imomath.com/index.php?options=338