matematikk.net

x^2 + 1/(x^2) = 7
hva er da x^3 + 1/(x^3) ?

Skal gjøres uten bruk av lommeregner: )

(har løst den, og sier ifra når jeg ser riktig svar med utregning)

x[sup]2[/sup] + 1/x[sup]2[/sup] = 7

(1/x + x)[sup]2[/sup] = 9

1/x + x = ±3

(1/x + x)[sup]3[/sup] = (±3)[sup]3[/sup]

1/x[sup]3[/sup] + x[sup]3[/sup] + 3(1/x + x) = ±27 (NB: (a + b)[sup]3[/sup] = a[sup]3[/sup] + b[sup]3[/sup] + 3ab(a + b). )

1/x[sup]3[/sup] + x[sup]3[/sup] ± 9 = ±27

1/x[sup]3[/sup] + x[sup]3[/sup] = ±18.

imponerende raskt svar på en kveld:)

jau - er korrekt løsningsmetode det der, muligens lettere enn den jeg brukte også.. Bra jobba

Generelt problem: Kva er x^n + 1/x^n for n = 1, 2, 3, ...?

Løysning: La An = x^n + 1/x^n. Me veit at A2 = 7 og dermed at me har anten A1 = 3 eller A1 = -3. Observer no at An * A1 = A(n+1) + A(n-1). Me har to sett av differenslikningsystem, med fylgjande karakteristiske likningar:

(1) A1 = 3 gjev r^2 - 3r + 1 = 0 med løysningar u = (3 + [rot][/rot]5)/2 og v = (3 - [rot][/rot]5)/2. Dette gjev An = C*u^n + D*v^n. A1 = Cu + Dv = 3/2*(C+D) + [rot][/rot]5*(C-D)/2, så C = D = 1 og An = u^n + v^n.

(2) A1 = -3 gjev r^2 + 3r + 1 = 0 med løysningar w1 = (-3 + [rot][/rot]5)/2 = -v og w2 = (-3 - [rot][/rot]5)/2 = -u. Me har altså An = C*(-u)^n + D*(-v)^n. A1 = -(Cu + Dv) = -3, så Cu + Dv = 3, med kjent løysning C = D = 1.


Dette gjev altså anten An = u^n + v^n eller An = (-u)^n + (-v)^n. Me ser at An er eintydig bestemt for partals-n og at absoluttverdien |An| er eintydig bestemt også for oddetals-n (noko me strengt tatt kunne observert utan å vera i nærleiken av å finna formelen).