Et farvel til mengdelæren

Det er god trening å prate matematikk. Her er det fritt fram for alle. Obs: Ikke spør om hjelp til oppgaver i dette underforumet.

Re: Et farvel til mengdelæren

Innlegg John Einbu » 18/10-2016 14:13

Sist søndag (16/10) kom innlegg nr. 15 i min serie om mengdelæren på min blogg john.einbu.no. Innlegget utgjorde en naturlig avslutning på de tidligere 14 innleggene.

Jeg har tidligere forklart hvorfor jeg har valgt å skrive disse innleggene på min blogg i stedet for på debattsiden til matematikk.net. Det skyldes erfaringen fra en tidligere debatt hvor jeg et stykke ut i debatten ble stoppet fra å komme med flere innlegg.

De som er interessert i de siste 7 innleggene vil finne disse på følgende adresser:

https://john.einbu.no/2016/09/04/et-far ... ere-del-9/
https://john.einbu.no/2016/09/11/et-far ... re-del-10/
https://john.einbu.no/2016/09/20/et-far ... re-del-11/
https://john.einbu.no/2016/09/25/et-far ... re-del-12/
https://john.einbu.no/2016/10/02/et-far ... re-del-13/
https://john.einbu.no/2016/10/09/et-far ... re-del-14/
https://john.einbu.no/2016/10/16/et-far ... re-del-15/

Nedenfor følger det siste innlegget (del 15) som har fått tittelen Avsluttende bemerkninger. Dette innlegget er litt annerledes enn de øvrige og inneholder ikke noe matematikk av betydning. Den inneholder litt historie, litt om holdninger til nye ideer og litt om en fremtidig mengdelære. Den har også noen betraktninger om hvor provosert enkelte matematikere kan bli når de blir fortalt at en teori som de tror på kan inneholde en rekke alvorlige feil.

Jeg tar den med fordi det ikke vil ha noen effekt for en moderator å stenge debatten, når det ikke kommer flere innlegg. En moderator kan selvfølgelig fjerne dette innlegget, men da legger jeg det inn på nytt (dette har vært nødvendig en gang tidligere)


Avsluttende bemerkninger

Jeg har gjennom 30 år periodevis diskutert Cantors mengdelære med diverse matematikere, fra Norge, Sverige, Danmark og Nederland. Mange av disse var matematikere av yrke og tilknyttet et universitet. I de siste årene har diskusjonen fortsatt på diskusjonsfora på internett (Skepsis og matamatikk.net). Men med noen få unntak var alle jeg diskuterte med forsvarere av den gjeldende mengdelære. Og jeg klarte ikke å forandre på det. Men noen av disse, og spesielt de profesjonelle matematikerne, kunne bli litt mindre selvsikre etter hvert. De kunne medgi at jeg kanskje hadde rett i noe, men ingen av dem kunne tenke seg å nevne noe om det i sine avhandlinger. Om dette skyldes at de i så fall kunne risikere å ødelegge sine karrieremuligheter er uklart. En kjent matematiker tilknytte UiO innrømmet at den alternative mengdelære jeg foreslo ikke ville ha noen paradokser, og en matematiker ved Universitetet i Trondheim var fullt ut enig med meg i at det er en feil i Cantors diagonalmetode, og gikk god for mitt bevis for dette. De ikke-profesjonelle matematikere var de som var mest aggressive i sitt forsvar for Cantor, og de kunne blir kraftig provosert over mine kjetterske meninger.

En nøytral observatør som følger denne debatten fra utsiden vil kunne si at hvis det er riktig at Cantor og et stort flertall av dagens matematikere er uenige med meg, så det må være mest sannsynlig at det er jeg som har feil. Og jeg må innrømmer at dette er et sterkt argument. Men det minste jeg må kunne vente for å ta min oppfatning opp til ny vurdering, er at de kommer med overbevisende grunner til at jeg tar feil. De må blant annet kunne beskrive en metode for hvordan uendelige mengder kan dannes (og ikke bare anta at slike kan dannes), og de må fortelle hvordan man kan finne ut om et uendelig tall er et primtall. De må videre komme med en overbevisende utredning om at det er legitimt å operere med tenkte eller usynlige tall og at man kan trekke troverdige konklusjoner av slike operasjoner. De må også fortelle hvordan man gradvis går over fra endelige tall (tall som kan skrives med et endelig antall siffer) og til uendelige tall (tall som må skrives med et uendelig antall siffer), når man beveger seg utover i tallrekken (Cantor har ikke sagt noe om det, trolig fordi han ikke skjønte at det var et problem). Og de må vise at det er mer logisk å gi avkall på det største uendelige tallet enn på at komplette, uendelige mengder kan dannes. De må i det hele tatt imøtegå alle de 14 punktene listet opp i innlegg nr. 14.

Det er betegnende at det er de minst meritterte matematikerne som er sterkest i sin tro på dagens mengdelære. Samtidig er det de som er mest hjelpeløse i sitt forsvar av læren. Og da vil kanskje noen spørre hvilke meritter jeg har å vise til, og som kan si noe om kvaliteten av den matematikken jeg produserer. I all beskjedenhet kan jeg da si at jeg har vært forsker i store deler av min yrkesaktive karriere og har skrevet 18 artikler i fagfelle-vurderte internasjonale tidsskrifter. Så noen må ha tatt det jeg skriver alvorlig.

Hvis dagens mengdelære må oppgis, hvordan vil en ny lære om tallsystemet se ut? Alt som dagens mengdelære sier om endelige tall vil gjelde også i en ny mengdelære. Men mye av det som i dag sies om uendelige tall, vil trolig falle bort. Siden uendelige tall ikke kan uttrykkes med siffer, så vil spørsmålet være om slike tall egentlig kan regnes å tilhøre tallsystemet. Vi kan riktignok tenke oss disse tallene, og også i fremtidens matematikk vil det enkelte ganger være behov for å operere med ekstremt store tall. Og det kan da være hensiktsmessige å kalle slike tall for uendelig store. Men man må da være seg bevisst at det er visse begrensninger forbundet med å bruke disse tallene. Man står ikke fritt til å kunne foreta seg alt man ønsker med slike tall. Og det er ingen ting i veien for at man i ett og samme resonnement kan tenke seg forskjellige uendelige tall, de må ikke alle sammen være like store (jfr. Cantors diagonalmetode). I den nye mengdelære vil det imidlertid ikke være tall av forskjellig kardinalitet. Antall heltall og antall desimaltall vil være av samme størrelsesorden. I fremtiden vil det ikke skrives hele bøker i mengdelære. Alt som kan sies om mengder kan formidles i et enkelt kapittel. Så mengdelæren vil være historie. Men det kan tenkes at det en gang i fremtiden vil bli skrevet bøker om mengdelærens historie.
John Einbu offline
Noether
Noether
Innlegg: 33
Registrert: 05/01-2016 10:55

Re: Et farvel til mengdelæren

Innlegg John Einbu » 26/10-2016 13:18

Onsdag 26/100 kl. 14.00. Dette er andre gang jeg legger inn dette svaret. Jeg la det inn første gang tirsdag den 25., men da ble det slettet etter noen timer. Jeg skal nå måle hvor lang tid det går før dette også blir slettet.

Etter mitt innlegg av 18/10 kom det et svar fra Aleks855. I et svar-innlegg to dager etter viser jeg med et sitat at Aleks855 helt klart tar feil. Disse to siste innleggene er nå fjernet, og jeg har mistanke om at dette er gjort av Aleks855 som moderator for forumet. Jeg spør nå: hvordan kan ledelsen tillate at en moderator skalter og valter med innleggene etter forgodtbefinnende og fjerner innlegg han ikke liker. Noe liknende har også skjedd tidligere. Dette bør det bli slutt på.
John Einbu offline
Noether
Noether
Innlegg: 33
Registrert: 05/01-2016 10:55

Re: Et farvel til mengdelæren

Innlegg peterbb » 03/11-2016 00:09

Hei John Einbu,

I hvilken grad er du kjent med alternative fundamenter for forskjellige fragmenter av matematikk som ikke er basert på mengdelære? Ta f.eks. diverse former for konstruktivisme: Brouwers intuisjonisme, Bishops konstruktivisme, russisk konstruktivisme (Markov Jr), Per Martin-Löf typeteori, Voevodskys homotopy type theory, finitisme, og ultrafinitisme (Edward Nelson)? Og er du kjent med prosjektet Reverse Mathematics?

Noen konkrete spørsmål:

I hvilken grad anser du naturlige tall —i seg selv— som problematiske? Da tenker jeg spesifikt på ikke-mengdeteoretisk modellering av dem, som f.eks. endelige syntaktiske objekter (binært eller unært). Og hva med strukturell induksjon på slike objekter?

Hvilken bevisteknikk referer du til i bloggpost 6? Kompakthet?

Hvorfor konstruerer du ditt alternativ som en materialistisk mengdelære? Det virker ikke som om det passer ståstedet ditt særlig godt. Er du kjent med russisk konstruktivisme?: intuisjonistisk logikk over endelige objekter (naturlige tall). Har du tenkt over at du kan fange inn konsepter fra mengdelære ved å se på naturlige tall som Gödel-nummere for primitive rekursive funksjoner, og denne funksjonen bruker du som den karakteristiske funksjonen som gjenkjenner "medlemmene" i "mengden"? I dette systemet, så er ikke "mengden av alle naturlige tall" problematisk, fordi det er bare funksjonen som alltid returnerer 1, uttrykket som en primitiv rekursiv funksjon, og kodet som et heltall. Derimot, så er f.eks. powerset-funksjonen problematisk.
peterbb offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 9
Registrert: 21/09-2015 13:32

Re: Et farvel til mengdelæren

Innlegg Karl_Erik » 26/07-2018 14:02

Tatt i betraktning at John Einbu ikke lenger er i stand til å svare kan det oppleves som noe dårlig gjort å svare ham, men jeg prøver meg likevel. Jeg prøvde å diskutere med Einbu for et par år siden uten større hell. Mitt inntrykk da var at Einbu hadde misforstått diagonalargumentet. Etter å ha lest hans siste innlegg om sine innvendinger (hvorav biten som gir den mest detaljerte innvendingen finnes i https://john.einbu.no/2016/09/20/et-farvel-til-dagens-mengdelaere-del-11/) står jeg ved det. Min forståelse av Einbus forståelse av Cantors diagonalargument er at han ser den som en slags grense av følgende prosess: "Skriv opp en kolonne av N desimaltall $d_n$, hver med N siffer. Konstruer så et nytt desimaltall $D$, også med $N$ siffer ved å passe på at det $n$-te sifferet i $N$ er ulikt det $n$-te sifferet i $d_n$. Per konstruksjon kan $D$ ikke være likt noen av $d_n$-ene, siden de er ulike på minst et siffer." Dette er en riktig forståelse av konstruksjonen. Innvendingen Einbu kommer med blir den følgende: "For at dette argumentet skal 'gå mot uendelig' må kolonnen 'gå mot R', som betyr at man er nødt til å skrive opp alle desimaltallene med $N$ siffer. Men disse er det $10^N$ av, og siden $10^N > N$ betyr dette at diagonalargumentet ikke nødvendigvis funker - alt vi vet om $D$ er at den er ulik noen av $d_n$-ene der $n<N$, men siden det nå plutselig er $10^N$ forskjellige $n$-er betyr dette at vi ikke lenger har noen garanti for at $D$ ikke er blant de $10^N$ tallene vi har skrevet opp."

Dette er i og for seg sant, men det baserer seg på en misforståelse av hva diagonalargumentet sier. Poenget som fås fram blir jo mer eller mindre at dersom du skriver opp alle desimaltall med $N$ sifre og prøver å lage deg et nytt tall også med $N$ sifre vil tallet du ender med stå i listen. Men dette er jo heller ikke så overraskende. Det er litt irrelevant hvordan tallet $D$ konstrueres - begynner du med en liste med alle desimaltall med $N$ sifre vil jo nødvendigvis alle tall du kan tenke deg med $N$ sifre stå i listen.

Det jeg mistenker er misforståelsen som ledet Einbu til denne karakteriseringen av diagonalargumentet er at han trodde listen av alle relle tall man tenker seg skrevet opp i diagonalargumentet var ment å være alle reelle tall. I innlegget jeg linket skriver Einbu nettopp dette:
Han lot desimaltallene mellom 0 og 1 representere de reelle tallene og fant ved hjelp av sin berømte diagonalmetode at uansett hvordan man ordnet disse desimaltallene i en kolonne, så ville det alltid være minst ett tall som ikke fantes i denne kolonnen.

Det diagonalargumentet egentlig viser er at "for enhver følge $d_n$ av reelle tall vil man kunne lage seg et reelt tall $D$ som ikke er i følgen". Fra dette kan man slutte at de reelle tall ikke er tellbare, fordi for enhver 'telling' kan jeg finne et tall som ikke telles.

Om man skal begrense seg til reelle tall med endelig mange siffer som Einbu gjør og gjennomfører en variant av diagonalargumentet er det sant at tallet $D$ som mangler fra listen ha like mange siffer som antall tall i listen. Dette betyr at om du har $N$ tall trenger du et $N$-sifret tall for å finne et som ikke bor i listen. Om man gjør forvekslningen Einbu gjør og blander sammen en tenkt følge med reelle tall med mengden av alle reelle tall vil de $N$ tallene bli til $10^N$, og innvendingen til Einbu blir, litt forenklet, at $10^N > N$. Det er en slags ironi her i at dette essentielt er det Cantors diagonalargument forsøker å bevise. Dette blir uformelt, men tenker man på $N$ som kardinaliteten til mengden av naturlige tall istedetfor et endelig tall, som jeg har gjort til nå, så kan $10^N$ forstås som kardinaliteten til mengden av reelle tall, som betyr at den (igjen uformelle tolkningen av) Einbus innvending blir nettopp at kardinaliteten til R er større enn kardinaliteten til N.

Igjen blir dette litt dårlig gjort å si mot en som ikke lenger har mulighet til å svare, så jeg skal holde meg unna leie karakteriseringer av person, men om noen skulle lese diskusjonen og sitter igjen usikre på om Einbu hadde noen gode ideer som folk ikke forsto må jeg jo si at det heller var motsatt. Jeg forsøkte etter beste evne å lese det han skrev, og følte jeg forsto resonnementene hans. Dessverre var det (så langt de angikk diagonalargumentet) alltid noe feil med dem, og jeg prøvde etter beste evne å forklare ham hvor han tok feil. Jeg føler Einbu fikk alle sjanser til å svare på innvendingene folk kom med uten større hell, så selv om jeg vil si det jeg skriver over er en rimelig overbevisende forklaring av hvorfor Einbus innlegg ikke viser noen feil i diagonalargumentet kan jeg jo basert på erfaring ikke tro at han skulle sagt seg enig. Men det er jo lov å håpe at kanskje dette ville vært innlegget som overbeviste ham.
Karl_Erik offline
Guru
Guru
Innlegg: 1076
Registrert: 22/10-2006 22:45

Re: Et farvel til mengdelæren

Innlegg Aleks855 » 26/07-2018 17:53

Tatt i betraktning at John Einbu ikke lenger er i stand til å svare kan det oppleves som noe dårlig gjort å svare ham


Jeg synes heller det motsatte. Så lenge det gjøres på en anstendig måte, så må det være lov å fortsette en debatt, sans en debattant. Dog kan det være at hans bortgang fjernet hele den ene siden av debatten.

Vi har sett empirisk bevis på at Einbu i stor grad lot være å betrakte og svare på matematiske argumenter, så jeg vet ikke om dette ville vært overbevisende. Det var en annen tråd her på forumet med 5-6 sider der Cantors bemerkninger ble diskutert. Problemet var at da noen av forumets høyest utdannede matematikere (og dette inkluderer IKKE meg, forresten) førte bevis til fordel for Cantor, så ble ikke disse besvart. Einbus innlegg besto egentlig av variasjoner av "jeg forstår ikke argumentet ditt, så du må prøve hardere på å forstå mitt".

Dette, etterfulgt av et blogginnlegg der han skrøt over å ha utargumentert et helt forum av matematikere som rett og slett ikke maktet å overbevise ham med sine trangsynte argumenter.

Han og jeg hadde definitivt ikke mye til overs for hverandre, og jeg kvesset meg mer enn jeg skulle ønske i etterkant. Men jeg prøvde så godt jeg kunne å forstå hans argumenter. Synd vi aldri nådde enighet.

Hans oppsummering av sitt eget argument kan forøvrig leses her: https://john.einbu.no/2016/10/09/et-far ... re-del-14/ - Jeg bet meg kanskje mest merke i punkt 5, som virket som et stråmannargument.

Jeg var ikke klar over hans bortgang før du nevnte det nå, så jeg ventet egentlig på neste gang han kom innom for å reklamere for sitt nyeste blogginnlegg.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5518
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Et farvel til mengdelæren

Innlegg Gustav » 27/07-2018 11:23

Min oppfatning av Einbus misforståelse er følgende:

Han betrakter først $N$-sifrede desimaltall mellom $0$ og $1$ der $N$ er et endelig tall, og gjør observasjonen at det fins $10^N$ slike tall. Dersom man plukker ut $N$ av disse $10^N$ tallene, lister de opp, og så anvender "diagonalmetoden", vil man ende opp med et $N$-sifret desimaltall som ikke er blant de $N$ tallene som ble plukket ut, men som er blant de resterende $10^N-N$. Så gjør han den korrekte observasjonen av dersom man hadde listet opp samtlige $10^N$ antall $N$-sifrede desimaltall, så ville diagonalmetoden ikke fungert. Hittil er alt riktig i Einbus argumentasjon. Til slutt generaliserer han denne tankegangen ved å la $N\to\infty$, og konkluderer med at Cantors diagonalargument ikke er gyldig. Det er i den siste grenseovergangen Einbus argumentasjon feiler.

Problemet med Einbus argumentasjon tror jeg ligger i hans oppfattelse av konseptet "uendelig", som han virker å behandle på samme måte som et naturlig tall.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4197
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Et farvel til mengdelæren

Innlegg Karl_Erik » 27/07-2018 11:34

Aleks855 skrev:
Tatt i betraktning at John Einbu ikke lenger er i stand til å svare kan det oppleves som noe dårlig gjort å svare ham


Jeg synes heller det motsatte. Så lenge det gjøres på en anstendig måte, så må det være lov å fortsette en debatt, sans en debattant. Dog kan det være at hans bortgang fjernet hele den ene siden av debatten.

Enig på begge punkter. :)

Aleks855 skrev:Vi har sett empirisk bevis på at Einbu i stor grad lot være å betrakte og svare på matematiske argumenter, så jeg vet ikke om dette ville vært overbevisende. Det var en annen tråd her på forumet med 5-6 sider der Cantors bemerkninger ble diskutert. Problemet var at da noen av forumets høyest utdannede matematikere (og dette inkluderer IKKE meg, forresten) førte bevis til fordel for Cantor, så ble ikke disse besvart. Einbus innlegg besto egentlig av variasjoner av "jeg forstår ikke argumentet ditt, så du må prøve hardere på å forstå mitt".

Dette, etterfulgt av et blogginnlegg der han skrøt over å ha utargumentert et helt forum av matematikere som rett og slett ikke maktet å overbevise ham med sine trangsynte argumenter.

Han og jeg hadde definitivt ikke mye til overs for hverandre, og jeg kvesset meg mer enn jeg skulle ønske i etterkant. Men jeg prøvde så godt jeg kunne å forstå hans argumenter. Synd vi aldri nådde enighet.


Generelt opplevde jeg jo at folk strakk seg lenger for å lese og tilbakevise Einbu enn han gjorde for å lese og tilbakevise andre. Sånn blir det jo gjerne når bare en av sidene i debatten har matematikken i ryggen, om man kan være litt påståelig. Så selv om jeg også kanskje skulle ha formulert meg mer diplomatisk til tider vil jeg si ting gikk ganske greit for seg.

Gustav skrev:Min oppfatning av Einbus misforståelse er følgende:

Han betrakter først $N$-sifrede desimaltall mellom $0$ og $1$ der $N$ er et endelig tall, og gjør observasjonen at det fins $10^N$ slike tall. Dersom man plukker ut $N$ av disse $10^N$ tallene, lister de opp, og så anvender "diagonalmetoden", vil man ende opp med et $N$-sifret desimaltall som ikke er blant de $N$ tallene som ble plukket ut, men som er blant de resterende $10^N-N$. Så gjør han den korrekte observasjonen av dersom man hadde listet opp samtlige $10^N$ antall $N$-sifrede desimaltall, så ville diagonalmetoden ikke fungert. Hittil er alt riktig i Einbus argumentasjon.


Dette er biten jeg stusser over. For ja, til nå er ikke noe galt sagt, men å fremstille dette som en endelig analog av diagonalmetoden blir jo misvisende. Den begynner jo ikke med 'skriv opp alle reelle tall i en følge'. Det den prøver å motbevise er jo nettopp påstanden at man kan gjøre det. Den sier 'skriv opp en følge med reelle tall', som godt kan men ikke må inneholde alle relle tall. Så det som 'skal' betraktes er jo ikke samlingen av alle $10^N$ reelle tall, men $N$ reelle tall. Jeg vil si det er her problemene begynner for Einbu, allerede før han har latt $N$ gå mot uendelig.
Karl_Erik offline
Guru
Guru
Innlegg: 1076
Registrert: 22/10-2006 22:45

Re: Et farvel til mengdelæren

Innlegg Gustav » 29/07-2018 12:33

Karl_Erik skrev:
Dette er biten jeg stusser over. For ja, til nå er ikke noe galt sagt, men å fremstille dette som en endelig analog av diagonalmetoden blir jo misvisende. Den begynner jo ikke med 'skriv opp alle reelle tall i en følge'. Det den prøver å motbevise er jo nettopp påstanden at man kan gjøre det. Den sier 'skriv opp en følge med reelle tall', som godt kan men ikke må inneholde alle relle tall. Så det som 'skal' betraktes er jo ikke samlingen av alle $10^N$ reelle tall, men $N$ reelle tall. Jeg vil si det er her problemene begynner for Einbu, allerede før han har latt $N$ gå mot uendelig.


Helt enig!
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4197
Registrert: 12/12-2008 12:44

Forrige

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 15 gjester