Re: Et farvel til mengdelæren
Lagt inn: 18/10-2016 15:13
Sist søndag (16/10) kom innlegg nr. 15 i min serie om mengdelæren på min blogg john.einbu.no. Innlegget utgjorde en naturlig avslutning på de tidligere 14 innleggene.
Jeg har tidligere forklart hvorfor jeg har valgt å skrive disse innleggene på min blogg i stedet for på debattsiden til matematikk.net. Det skyldes erfaringen fra en tidligere debatt hvor jeg et stykke ut i debatten ble stoppet fra å komme med flere innlegg.
De som er interessert i de siste 7 innleggene vil finne disse på følgende adresser:
https://john.einbu.no/2016/09/04/et-far ... ere-del-9/
https://john.einbu.no/2016/09/11/et-far ... re-del-10/
https://john.einbu.no/2016/09/20/et-far ... re-del-11/
https://john.einbu.no/2016/09/25/et-far ... re-del-12/
https://john.einbu.no/2016/10/02/et-far ... re-del-13/
https://john.einbu.no/2016/10/09/et-far ... re-del-14/
https://john.einbu.no/2016/10/16/et-far ... re-del-15/
Nedenfor følger det siste innlegget (del 15) som har fått tittelen Avsluttende bemerkninger. Dette innlegget er litt annerledes enn de øvrige og inneholder ikke noe matematikk av betydning. Den inneholder litt historie, litt om holdninger til nye ideer og litt om en fremtidig mengdelære. Den har også noen betraktninger om hvor provosert enkelte matematikere kan bli når de blir fortalt at en teori som de tror på kan inneholde en rekke alvorlige feil.
Jeg tar den med fordi det ikke vil ha noen effekt for en moderator å stenge debatten, når det ikke kommer flere innlegg. En moderator kan selvfølgelig fjerne dette innlegget, men da legger jeg det inn på nytt (dette har vært nødvendig en gang tidligere)
Avsluttende bemerkninger
Jeg har gjennom 30 år periodevis diskutert Cantors mengdelære med diverse matematikere, fra Norge, Sverige, Danmark og Nederland. Mange av disse var matematikere av yrke og tilknyttet et universitet. I de siste årene har diskusjonen fortsatt på diskusjonsfora på internett (Skepsis og matamatikk.net). Men med noen få unntak var alle jeg diskuterte med forsvarere av den gjeldende mengdelære. Og jeg klarte ikke å forandre på det. Men noen av disse, og spesielt de profesjonelle matematikerne, kunne bli litt mindre selvsikre etter hvert. De kunne medgi at jeg kanskje hadde rett i noe, men ingen av dem kunne tenke seg å nevne noe om det i sine avhandlinger. Om dette skyldes at de i så fall kunne risikere å ødelegge sine karrieremuligheter er uklart. En kjent matematiker tilknytte UiO innrømmet at den alternative mengdelære jeg foreslo ikke ville ha noen paradokser, og en matematiker ved Universitetet i Trondheim var fullt ut enig med meg i at det er en feil i Cantors diagonalmetode, og gikk god for mitt bevis for dette. De ikke-profesjonelle matematikere var de som var mest aggressive i sitt forsvar for Cantor, og de kunne blir kraftig provosert over mine kjetterske meninger.
En nøytral observatør som følger denne debatten fra utsiden vil kunne si at hvis det er riktig at Cantor og et stort flertall av dagens matematikere er uenige med meg, så det må være mest sannsynlig at det er jeg som har feil. Og jeg må innrømmer at dette er et sterkt argument. Men det minste jeg må kunne vente for å ta min oppfatning opp til ny vurdering, er at de kommer med overbevisende grunner til at jeg tar feil. De må blant annet kunne beskrive en metode for hvordan uendelige mengder kan dannes (og ikke bare anta at slike kan dannes), og de må fortelle hvordan man kan finne ut om et uendelig tall er et primtall. De må videre komme med en overbevisende utredning om at det er legitimt å operere med tenkte eller usynlige tall og at man kan trekke troverdige konklusjoner av slike operasjoner. De må også fortelle hvordan man gradvis går over fra endelige tall (tall som kan skrives med et endelig antall siffer) og til uendelige tall (tall som må skrives med et uendelig antall siffer), når man beveger seg utover i tallrekken (Cantor har ikke sagt noe om det, trolig fordi han ikke skjønte at det var et problem). Og de må vise at det er mer logisk å gi avkall på det største uendelige tallet enn på at komplette, uendelige mengder kan dannes. De må i det hele tatt imøtegå alle de 14 punktene listet opp i innlegg nr. 14.
Det er betegnende at det er de minst meritterte matematikerne som er sterkest i sin tro på dagens mengdelære. Samtidig er det de som er mest hjelpeløse i sitt forsvar av læren. Og da vil kanskje noen spørre hvilke meritter jeg har å vise til, og som kan si noe om kvaliteten av den matematikken jeg produserer. I all beskjedenhet kan jeg da si at jeg har vært forsker i store deler av min yrkesaktive karriere og har skrevet 18 artikler i fagfelle-vurderte internasjonale tidsskrifter. Så noen må ha tatt det jeg skriver alvorlig.
Hvis dagens mengdelære må oppgis, hvordan vil en ny lære om tallsystemet se ut? Alt som dagens mengdelære sier om endelige tall vil gjelde også i en ny mengdelære. Men mye av det som i dag sies om uendelige tall, vil trolig falle bort. Siden uendelige tall ikke kan uttrykkes med siffer, så vil spørsmålet være om slike tall egentlig kan regnes å tilhøre tallsystemet. Vi kan riktignok tenke oss disse tallene, og også i fremtidens matematikk vil det enkelte ganger være behov for å operere med ekstremt store tall. Og det kan da være hensiktsmessige å kalle slike tall for uendelig store. Men man må da være seg bevisst at det er visse begrensninger forbundet med å bruke disse tallene. Man står ikke fritt til å kunne foreta seg alt man ønsker med slike tall. Og det er ingen ting i veien for at man i ett og samme resonnement kan tenke seg forskjellige uendelige tall, de må ikke alle sammen være like store (jfr. Cantors diagonalmetode). I den nye mengdelære vil det imidlertid ikke være tall av forskjellig kardinalitet. Antall heltall og antall desimaltall vil være av samme størrelsesorden. I fremtiden vil det ikke skrives hele bøker i mengdelære. Alt som kan sies om mengder kan formidles i et enkelt kapittel. Så mengdelæren vil være historie. Men det kan tenkes at det en gang i fremtiden vil bli skrevet bøker om mengdelærens historie.
Jeg har tidligere forklart hvorfor jeg har valgt å skrive disse innleggene på min blogg i stedet for på debattsiden til matematikk.net. Det skyldes erfaringen fra en tidligere debatt hvor jeg et stykke ut i debatten ble stoppet fra å komme med flere innlegg.
De som er interessert i de siste 7 innleggene vil finne disse på følgende adresser:
https://john.einbu.no/2016/09/04/et-far ... ere-del-9/
https://john.einbu.no/2016/09/11/et-far ... re-del-10/
https://john.einbu.no/2016/09/20/et-far ... re-del-11/
https://john.einbu.no/2016/09/25/et-far ... re-del-12/
https://john.einbu.no/2016/10/02/et-far ... re-del-13/
https://john.einbu.no/2016/10/09/et-far ... re-del-14/
https://john.einbu.no/2016/10/16/et-far ... re-del-15/
Nedenfor følger det siste innlegget (del 15) som har fått tittelen Avsluttende bemerkninger. Dette innlegget er litt annerledes enn de øvrige og inneholder ikke noe matematikk av betydning. Den inneholder litt historie, litt om holdninger til nye ideer og litt om en fremtidig mengdelære. Den har også noen betraktninger om hvor provosert enkelte matematikere kan bli når de blir fortalt at en teori som de tror på kan inneholde en rekke alvorlige feil.
Jeg tar den med fordi det ikke vil ha noen effekt for en moderator å stenge debatten, når det ikke kommer flere innlegg. En moderator kan selvfølgelig fjerne dette innlegget, men da legger jeg det inn på nytt (dette har vært nødvendig en gang tidligere)
Avsluttende bemerkninger
Jeg har gjennom 30 år periodevis diskutert Cantors mengdelære med diverse matematikere, fra Norge, Sverige, Danmark og Nederland. Mange av disse var matematikere av yrke og tilknyttet et universitet. I de siste årene har diskusjonen fortsatt på diskusjonsfora på internett (Skepsis og matamatikk.net). Men med noen få unntak var alle jeg diskuterte med forsvarere av den gjeldende mengdelære. Og jeg klarte ikke å forandre på det. Men noen av disse, og spesielt de profesjonelle matematikerne, kunne bli litt mindre selvsikre etter hvert. De kunne medgi at jeg kanskje hadde rett i noe, men ingen av dem kunne tenke seg å nevne noe om det i sine avhandlinger. Om dette skyldes at de i så fall kunne risikere å ødelegge sine karrieremuligheter er uklart. En kjent matematiker tilknytte UiO innrømmet at den alternative mengdelære jeg foreslo ikke ville ha noen paradokser, og en matematiker ved Universitetet i Trondheim var fullt ut enig med meg i at det er en feil i Cantors diagonalmetode, og gikk god for mitt bevis for dette. De ikke-profesjonelle matematikere var de som var mest aggressive i sitt forsvar for Cantor, og de kunne blir kraftig provosert over mine kjetterske meninger.
En nøytral observatør som følger denne debatten fra utsiden vil kunne si at hvis det er riktig at Cantor og et stort flertall av dagens matematikere er uenige med meg, så det må være mest sannsynlig at det er jeg som har feil. Og jeg må innrømmer at dette er et sterkt argument. Men det minste jeg må kunne vente for å ta min oppfatning opp til ny vurdering, er at de kommer med overbevisende grunner til at jeg tar feil. De må blant annet kunne beskrive en metode for hvordan uendelige mengder kan dannes (og ikke bare anta at slike kan dannes), og de må fortelle hvordan man kan finne ut om et uendelig tall er et primtall. De må videre komme med en overbevisende utredning om at det er legitimt å operere med tenkte eller usynlige tall og at man kan trekke troverdige konklusjoner av slike operasjoner. De må også fortelle hvordan man gradvis går over fra endelige tall (tall som kan skrives med et endelig antall siffer) og til uendelige tall (tall som må skrives med et uendelig antall siffer), når man beveger seg utover i tallrekken (Cantor har ikke sagt noe om det, trolig fordi han ikke skjønte at det var et problem). Og de må vise at det er mer logisk å gi avkall på det største uendelige tallet enn på at komplette, uendelige mengder kan dannes. De må i det hele tatt imøtegå alle de 14 punktene listet opp i innlegg nr. 14.
Det er betegnende at det er de minst meritterte matematikerne som er sterkest i sin tro på dagens mengdelære. Samtidig er det de som er mest hjelpeløse i sitt forsvar av læren. Og da vil kanskje noen spørre hvilke meritter jeg har å vise til, og som kan si noe om kvaliteten av den matematikken jeg produserer. I all beskjedenhet kan jeg da si at jeg har vært forsker i store deler av min yrkesaktive karriere og har skrevet 18 artikler i fagfelle-vurderte internasjonale tidsskrifter. Så noen må ha tatt det jeg skriver alvorlig.
Hvis dagens mengdelære må oppgis, hvordan vil en ny lære om tallsystemet se ut? Alt som dagens mengdelære sier om endelige tall vil gjelde også i en ny mengdelære. Men mye av det som i dag sies om uendelige tall, vil trolig falle bort. Siden uendelige tall ikke kan uttrykkes med siffer, så vil spørsmålet være om slike tall egentlig kan regnes å tilhøre tallsystemet. Vi kan riktignok tenke oss disse tallene, og også i fremtidens matematikk vil det enkelte ganger være behov for å operere med ekstremt store tall. Og det kan da være hensiktsmessige å kalle slike tall for uendelig store. Men man må da være seg bevisst at det er visse begrensninger forbundet med å bruke disse tallene. Man står ikke fritt til å kunne foreta seg alt man ønsker med slike tall. Og det er ingen ting i veien for at man i ett og samme resonnement kan tenke seg forskjellige uendelige tall, de må ikke alle sammen være like store (jfr. Cantors diagonalmetode). I den nye mengdelære vil det imidlertid ikke være tall av forskjellig kardinalitet. Antall heltall og antall desimaltall vil være av samme størrelsesorden. I fremtiden vil det ikke skrives hele bøker i mengdelære. Alt som kan sies om mengder kan formidles i et enkelt kapittel. Så mengdelæren vil være historie. Men det kan tenkes at det en gang i fremtiden vil bli skrevet bøker om mengdelærens historie.