Noen betraktninger om kortblanding

Det er god trening å prate matematikk. Her er det fritt fram for alle. Obs: Ikke spør om hjelp til oppgaver i dette underforumet.

Noen betraktninger om kortblanding

Innlegg John Einbu » 06/08-2016 07:36

I større bridgeturneringer i vår tid blir kortfordelingen bestemt av et dataprogram som garanterer at kortene blir fordelt helt tilfeldig, det vil si slik at ingen fordeling favoriseres fremfor noen annen. Det samme gjelder ved bridgespill på datamaskiner. For en litt trenet programmerer er det å lage et slikt program en enkel sak, så det er ingen grunn til å tro at kortene blir fordelt slik at man for eksempel har oddsene i mot seg under spilleføringen på grunn av feil logikk i programmene. Men i den første tiden etter at denne praktisen ble innført, var det enkelte spillere som kunne komme med forsiktige antydninger om at de noen ganger fikk «hender» som de syntes var atypiske og litt forskjellige fra de man normalt fikk ved manuell blanding. Ofte var det da underforstått at det måtte ha vært noe feil med programmene. Men etter litt ordveksling om dette kom man vel som regel frem til den konklusjon at hvis det var forskjell mellom bridge-hender bestemt av maskiner og hender fremkommet ved manuell stokking, så var det sannsynligvis den manuelle stokkingen som ga en hånd som ikke helt tilfredsstilte kravet om tilfeldighet. Man frikjente altså dataprogrammet.

Manuell stokking
Vi skal nå se hva som kan skje ved manuell stokking. Og vi forutsetter at stokkingen skjer på den mest vanlige og «profesjonelle» måten ved at kortstokken deles i to mest mulig like deler og kortene i de to halvdelene blandes slik som man lukker et glidelås. Og for å få frem et poeng skal vi ta for oss et litt idealisert tilfelle. La oss tenke oss et spill hvor det først ble spilt tre ganger spar og alle fulgte. Hver at de fire spillerne legger da tre spar med baksiden opp ved siden av seg på bordet. Og kortene i de øvrige stikkene blir lagt på toppen av disse. Når alle kortene er spilt og stikkene tellet, så tar den neste giver bunken med 13 kort fra hver spiller og stabler disse bunkene oppå hverandre. Fra bunnen av ligger det da spar som kort nummer 1, 2, 3 14, 15, 16, 27, 28, 29, 40, 41 og 42. Så deles stokken i to like deler og det stokkes etter glidelåsprinsippet (hvis dette skjer uten en enste feil, så kaller vi det «perfekt stokking» i denne artikkelen). Etter det vil det være spar i posisjonene 1 til 6 og 27 til 32. Så stokkes kortene en gang til på samme måte og vi får spar i posisjonene 1 til 12 tellet nedenfra. Nederst i kortstokken har vi altså 12 spar etter hverandre.

Jeg tror vi allerede nå kan si at stokking etter glidelåsprinsippet virker litt suspekt. Ideen med denne måten å stokke på er vel at for hver omgang, så skulle kortrekkefølgen blir mer og mer tilfeldig. Men i stedet for blanding ser det ut til at vi etter to omganger heller har oppnådd en sortering. Men kanskje to omganger er for lite, normalt stokker man vel både tre, fire og kanskje fem ganger. La oss da se hva som skjer etter en ny omgang.

Igjen forutsetter vi perfekt stokking. Og vi antar at vi slipper ned det første kortet i den halvdelen som har 12 spar. Etter omgangen har vi da en spar på annet hvert kort fra bunnen av. Og hvis vi deler ut disse kortene (uten å ta av) så vil giveren og hans/hennes makker få tildelt seks spar hver. Og enda mer spektakulært blir det hvis det stokkes en fjerde omgang. Sørger man da også for å få en spar i bunnen, så vil fra dette kortet hvert fjerde kort være en spar. Og deler man så ut disse kortene, så vil giveren får tildelt 12 spar. Ikke akkurat en betryggende form for stokking. At det ble forutsatt tre runder med spar i spillet forut og at alle fulgte, er ikke nødvendig for denne konklusjonen. Uansett hvilke tolv kort som ble spilt i de tre første rundene, så vil giveren etter fire runder perfekt stokking få tildelt disse tolv kortene. Dette er kanskje noe å tenke på under et vennskapelig bridgeoppgjør i hjemlige omgivelser. Nå vil man jo i praksis aldri greie å mestre fire runder med perfekt stokking etter hverandre, men uansett tror jeg vi med sikkerhet kan slå fast at den kortfordelingen man oppnår ved stokking etter glidelåsprinsippet ikke på langt nær har der de samme statistiske egenskapene som fordelingen bestemt av et dataprogram (hvor altså alle hender har samme sannsynlighet for å forekomme). Kortfordelingen ved manuell stokking vil alltid være avhengig av hvordan kortene ble spilt ved forrige spill.

Litt matematikk
Men hva om man fortsetter den perfekte stokkingen et stort antall ganger. Vil man da oppnå at kortrekkefølgen etter hvert blir mer og mer tilfeldig? For å finne svaret på dette må vi ty til litt matematikk. La oss se på uttrykket

(2**K- 1)/(N + 1) = heltall (hvor 2**K er lik 2 opphøyd i k-te potens)

Dette er en likning, men ikke av den typen vi ble kjent med på gymnaset. Det er en såkalt diofantsk likning oppkalt etter den greske matematikeren Diofantus som levde i Alexandria på 300-tallet. K og N forutsettes å være positive heltall og for en gitt verdi av for eksempel N, er oppgaven å finne en verdi av K (og gjerne den minst mulige verdi) slik at når man ganger 2 med seg selv K ganger, så er 2*^K- 1 delelig med N + 1.

Men hva i all verden har dette med kortblanding å gjøre? Vel, foretar man en matematisk dybdeanalyse av kortblanding etter glidelåsprinsippet av en kortstokk på N kort, hvor N er et liketall, så kommer man frem til følgende: Setter man tallet N inn i den diofantske likningen ovenfor og finner den minst verdi av K som tilfredsstiller likningen, så vil K være det antall runder perfekte stokkinger man må utføre for å gjenskape den opprinnelige rekkefølgen av kortene. Som en illustrasjon, la oss tenke oss en kortstokk på bare 6 kort og la de 6 kortene være spar ess til spar 6 fra bunnen og oppover. N er da lik 6 og N + 1 = 7. Prøver vi oss frem med forskjellige verdier av K fra 1 og oppover, så ser vi at for K = 3 så blir 2**K = 2*2*2 = 8 og 2**K - 1 = 7. Dermed blir teller og nevner begge lik 7 og brøken i likningen blir derfor lik 1 som er et heltall. Altså er K = 3 en løsning. Med andre ord, utsetter vi disse 6 kortene for 3 perfekte stokkinger, så ender vi opp med en kortstokk med de 6 sparene i opprinnelig rekkefølge. Og fortsetter vi videre, så vil den samme rekkefølgen gjenoppstå etter hver tredje omgang. Så kortene blir ikke bedre og bedre stokket ved å fortsette stokkingen. Enhver kan prøve dette med sine egne kort. En regel må imidlertid følges. Når man deler stokken, så skal det første kortet som slippes ned komme fra den øverste halvdelen. Ellers vil det ikke virke.

Starter vi med 12 kort (N = 12), så må man stokke 12 ganger for å gjenskape den opprinnelige rekkefølgen, men starter vi i stedet med 14 kort, så er det tilstrekkelig med 4 omganger. Og har man 28 kort, må stokkingen gjentas 28 ganger for full gjenskaping, men har man 30 kort er det nok med 5 stokkinger. Starter man med hele kortstokken (N = 52), så er man tilbake til utgangspunktet først etter 52 omganger. Man kan da si at 52 er et litt heldig valgt tall, for hadde kortstokken bare bestått av 50 kort ville den opprinnelige rekkefølgen dukke opp igjen allerede etter 8 stokkinger.

Konklusjonen må bli at med perfekt stokking av den vanlig bridge-kortstokken, så oppnår man aldri mer enn 52 forskjellige fordelinger uansett hvor lenge man fortsetter å stokke. Men med enkelte avvik fra det perfekte etter hvert som man stokker, så kan man selvfølgelig få hender som ikke kan avledes av det foregående spill. Så et råd er å foreta stokkingen mest mulig skjødesløst. Men det beste vil kanskje være å gå tilbake til den gammeldagse stokkingen.*
John Einbu offline
Noether
Noether
Innlegg: 33
Registrert: 05/01-2016 10:55

Re: Noen betraktninger om kortblanding

Innlegg pit » 06/08-2016 14:26

Det John skriver akkurat nå er rett, men han gjengir vel noe alle egentlig vet.

De som kan litt om kryptering vet allerede at tilfeldighet er noe som egentlig ikke finnes i naturen. En
snakker da heller om entropi, [tex]H(X) = -\sum_{x \in X} P(x)log_{2} P(x)[/tex], eller grad av usikkerhet.

Randomgeneratorer er ganske deterministisk når en tar utgangspunkt i deterministiske prosesser som punktprøving
av CPU tilstand, tid..etc som gjør at en med Markov kjeder (fra statistikken) til en hvis grad kan forutse neste
gitt alt det forrige.

"Ekte" tilfeldige randomgeneratorer kan ikke en gang ta utgangspunkt i manuell sortering da det er en hvis
determinisme knyttet til vedkommenes rutine til stokking.

For å få en tilnærming til god tilfeldighet bruker en punkt prøving fra blant annet kosmisk stråling, da
kosmisk stråling har en kaotisk natur, som reduserer grad av determinisme.

I praksis, for eksempel lotto, så er grad av determinisme mye lavere enn antall tall, slik at det
ikke er mulig å bygge opp Markov kjeder for å bygge opp et "kart" for å forutse neste tall.

Jo mindre grad av determinisme, jo flere tall må en ha for å finne statistikken til prosessen, og
så lage en Markov kjede.
pit offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 8 gjester

cron