Jeg har forstått det Wikipedia og andre nettsider forteller meg, at man faktoriserer for å dele opp et matematisk uttrykk i mindre enheter for å så gange disse sammen og få det opprinnelige uttrykket. Men hvorfor?
Jeg prøver å forestille meg det litt abstrakt, som at de matematiske leddene er f.eks. komponenter til en datamaskin. Ville faktorisering vært det å ta fra hverandre komponentene for å se hva du virkelig trenger om du skal velge å bruke noe av komponentene i en annen datamaskin, eller bare bygge på den du har? Altså, gå videre med enkelte av leddene, eller bruke de andre steder.
Det virker kanskje litt random. Men for min del, så hjelper det virkelig å sette meg litt inn i hvorfor, og ikke bare hvordan jeg lærer matte. Ikke at jeg er noe spesielt flink eller på høyt nivå akkurat nå, men håper på at jeg kan nå et nokså godt nivå en dag.
Hvorfor faktoriserer man egentlig?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
"Ville faktorisering vært det å ta fra hverandre komponentene for å se hva du virkelig trenger om du skal velge å bruke noe av komponentene i en annen datamaskin, eller bare bygge på den du har?"
Det ville vært som å strekke kablene på en annen måte. Du endrer ikke på ytelsen av komponentene ved å gjøre det, på samme måte som at du ikke endrer verdien av et uttrykk ved å faktorisere det. Det er bare annerledes.
Men alt har sin hensikt. Både utvidede og faktoriserte uttrykk har sine fordeler og ulemper.
For eksempel, si du har uttrykket $x^2 + 3x + 2$. Faktorisert vil det være $(x+1)(x+2)$.
Men si du skal derivere eller integrere uttrykket. Det er mye lettere å utføre disse operasjonene på førstnevnte skrivemåte, fordi vi kan bare bruke potensregelen på hvert enkelt ledd.
Men hva hvis du skal løse en ulikhet med uttrykket? Når er det større enn 0? Det er mye lettere å se dette ved å betrakte den faktoriserte formen, fordi det lar seg kjapt sette inn i fortegnsskjema.
I tillegg, på den faktoriserte formen ser vi umiddelbart at nullpunktene til funksjonen er $x=-1$ og $x=-2$.
Så når det gjelder spørsmålet "hvorfor faktorisere?", så er svaret at det kommer litt an på hva du skal gjøre med uttrykket videre.
Det ville vært som å strekke kablene på en annen måte. Du endrer ikke på ytelsen av komponentene ved å gjøre det, på samme måte som at du ikke endrer verdien av et uttrykk ved å faktorisere det. Det er bare annerledes.
Men alt har sin hensikt. Både utvidede og faktoriserte uttrykk har sine fordeler og ulemper.
For eksempel, si du har uttrykket $x^2 + 3x + 2$. Faktorisert vil det være $(x+1)(x+2)$.
Men si du skal derivere eller integrere uttrykket. Det er mye lettere å utføre disse operasjonene på førstnevnte skrivemåte, fordi vi kan bare bruke potensregelen på hvert enkelt ledd.
Men hva hvis du skal løse en ulikhet med uttrykket? Når er det større enn 0? Det er mye lettere å se dette ved å betrakte den faktoriserte formen, fordi det lar seg kjapt sette inn i fortegnsskjema.
I tillegg, på den faktoriserte formen ser vi umiddelbart at nullpunktene til funksjonen er $x=-1$ og $x=-2$.
Så når det gjelder spørsmålet "hvorfor faktorisere?", så er svaret at det kommer litt an på hva du skal gjøre med uttrykket videre.
Man faktoriserer for å oppnå innsikt i tallsystemet (alle naturlige tall er bygd opp av primtall, tenk på primtallene som atomer som bygger opp molekyler), eller for å løse problemer av ulik art.
Eksempel:
- Finn alle positive heltall $n,m$ som oppfyller $nm=100$
- Forkort uttrykket $\frac{x^2-1}{x+1}$.
- Løs likningen $x^2+x-12=0$
- Løs ulikheten $x^2+x-12>0$
- Forenkle et integral, $\int \frac{x^2-1}{x+1}\,dx$
- Løse differensiallikning via faktorisering, $(y')^2+y'+yy'+y=(y'+y)(y'+1)=0$
- Dekomponering/Faktorisering av matriser for å løse systemer av lineære ligninger eller systemer av diff.ligninger
Faktorisering er antagelig en av de viktigste teknikkene i matematikken, og vil veldig ofte forenkle problemer.
Eksempel:
- Finn alle positive heltall $n,m$ som oppfyller $nm=100$
- Forkort uttrykket $\frac{x^2-1}{x+1}$.
- Løs likningen $x^2+x-12=0$
- Løs ulikheten $x^2+x-12>0$
- Forenkle et integral, $\int \frac{x^2-1}{x+1}\,dx$
- Løse differensiallikning via faktorisering, $(y')^2+y'+yy'+y=(y'+y)(y'+1)=0$
- Dekomponering/Faktorisering av matriser for å løse systemer av lineære ligninger eller systemer av diff.ligninger
Faktorisering er antagelig en av de viktigste teknikkene i matematikken, og vil veldig ofte forenkle problemer.