Kula: (x-5)i annen + (y-2)i annen + (z-1)i annen = 49
Planet: 2x + 2y +z - 6 = 0
Problem:
a) Skjærer de hverandre?
b) Hvis ja, hva er skjæringssirkelens radius og sentrum?
Hvordan å finne skjæringssirkel mellom et plan og en kule?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hehe. Denne hadde ligget død lenge nå.
Prøver meg på et løsningsforslag. Innmari irriterende at mellomrom blir fjernet i forumet, nesten helt umulig å skrive formler og uttrykk!
Ut fra ligningene kan man lese at kula har sentrum i (5, 2, 1) og har en radius på 7 (\/49). En normalvektor til planet er [2, 2, 1].
a) Avstanden fra planet med normal vektor [a,b,c] til punktet P(x,y,z) er:
Prøver meg på et løsningsforslag. Innmari irriterende at mellomrom blir fjernet i forumet, nesten helt umulig å skrive formler og uttrykk!
Ut fra ligningene kan man lese at kula har sentrum i (5, 2, 1) og har en radius på 7 (\/49). En normalvektor til planet er [2, 2, 1].
a) Avstanden fra planet med normal vektor [a,b,c] til punktet P(x,y,z) er:
Kode: Velg alt
| (2x + 2y + z - 6) |
--------------------------- = d
\/(a^2 + b^2 + c^2)
| 10 + 4 + 1 - 6 | 15
------------------- = --- = 5
\/(4 + 4 + 1) 3
Svar: Ja, de skjærer hverandre fordi avstanden til punktet i planet som er nærmest sentrum i kula er mindre enn radiusen i kula.
b) Hvis man tegner opp et snitt av kula som går gjennom sentrum i den, (det blir en sirkel) vil skjæringssirkelen være en korde som har den korteste avstanden 5. Radiusen i sirkelen, radiusen i kula og den avstanden vi fant ovenfor danner en rettvinklet trekant. (Dette høres vanskelig ut, men tegn opp!)
Radiusen i sirkelen blir da
r = \/( 7^2 - 5^2) = \/24
Vektoren fra origo til sentrum i kula er [5,2,1]. Vi vet at vektoren fra sentrum i kula til sentrum i sirkelen er parallell med normalvektoren [2,2,1] og den er 5 enheter lang. Vi finner den vektoren fra sentrumene slik:
| t * [2,2,1] | = 5
\/(4t^2 + 4t^2 + t^2) = 5
\/(9t^2) =5 t = 5/3
Det fører til at vektoren mellom sentrumene er lik 5/3 * [2,2,1]
= [10/3, 10/3, 5/3]
Vektoren fra origo til sirkelsentret blir lik [5,2,1] + [10/3, 10/3, 5/3]
= [25/3, 25/3, 8/3]
Sirkelen må ha sentrum i (25/3, 25/3, 8/3)
--------------------------------------------------
Mvh. PI