Eksamen TMA4100 hausten 2019
Lagt inn: 12/12-2019 15:09
OPPG. 5 har denne ordlyden:
Finn Taylor-polynomet av 2. grad om a = 0 til funksjonen f gitt ved
f( x ) = [tex]\frac{e^{x}}{1 - x^{2}}[/tex] , -[tex]\frac{1}{2}[/tex] [tex]\leq[/tex] x [tex]\leq[/tex] [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Ein av studentane som var oppe til eksamen den 4. desember ( sjå innlegg på matematikk.net ) klagar over eit tidkrevjande
og kjedeleg reknearbeid ettersom ein må rekne ut f' ( x ) og f''( x ) for å få tak i koeffisienten til høvesvis x-leddet og x[tex]^{2}[/tex] - leddet.
Meiner dette reknearbeidet er unødvendig då vi kjenner potensrekka til både teljar og nemnar. Vi har nemleg at
e[tex]^{x}[/tex] = 1 + x + [tex]\frac{x^{2}}{2!}[/tex] + ledd av høgare orden
Brøken [tex]\frac{1}{1 - x^{2}}[/tex] = 1 + x[tex]^{2}[/tex] + ledd av høgare orden ( konv. geom.rekkje med a[tex]_{1}[/tex] = 1 og koeff. k = x[tex]^{2}[/tex] )
Når vi multipliserer ut dei to potensrekkjene og trekkjer saman x[tex]^{2}[/tex]-ledda , får vi
f( x ) = [tex]\frac{e^{x}}{1 - x^{2}}[/tex] = e[tex]^{x}[/tex] [tex]\cdot[/tex][tex]\frac{1}{1 - x^{2}}[/tex]
= 1 + x + [tex]\frac{3}{2}[/tex] x[tex]^{2}[/tex] + ledd av høgare orden
Er dette ei haldbar løysing ? Håpar at nokon kan svare .
Finn Taylor-polynomet av 2. grad om a = 0 til funksjonen f gitt ved
f( x ) = [tex]\frac{e^{x}}{1 - x^{2}}[/tex] , -[tex]\frac{1}{2}[/tex] [tex]\leq[/tex] x [tex]\leq[/tex] [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Ein av studentane som var oppe til eksamen den 4. desember ( sjå innlegg på matematikk.net ) klagar over eit tidkrevjande
og kjedeleg reknearbeid ettersom ein må rekne ut f' ( x ) og f''( x ) for å få tak i koeffisienten til høvesvis x-leddet og x[tex]^{2}[/tex] - leddet.
Meiner dette reknearbeidet er unødvendig då vi kjenner potensrekka til både teljar og nemnar. Vi har nemleg at
e[tex]^{x}[/tex] = 1 + x + [tex]\frac{x^{2}}{2!}[/tex] + ledd av høgare orden
Brøken [tex]\frac{1}{1 - x^{2}}[/tex] = 1 + x[tex]^{2}[/tex] + ledd av høgare orden ( konv. geom.rekkje med a[tex]_{1}[/tex] = 1 og koeff. k = x[tex]^{2}[/tex] )
Når vi multipliserer ut dei to potensrekkjene og trekkjer saman x[tex]^{2}[/tex]-ledda , får vi
f( x ) = [tex]\frac{e^{x}}{1 - x^{2}}[/tex] = e[tex]^{x}[/tex] [tex]\cdot[/tex][tex]\frac{1}{1 - x^{2}}[/tex]
= 1 + x + [tex]\frac{3}{2}[/tex] x[tex]^{2}[/tex] + ledd av høgare orden
Er dette ei haldbar løysing ? Håpar at nokon kan svare .