Rekker

[toyontz]

a) Finn konvergensintervallet og summen for rekka når ho konvergerer: $\text{[}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\frac{x^n}{2^n}.\text{]}$

b) 1) Finn konvergensintervallet for rekka :$\text{[}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)\cdot 2^n}.\text{]}$

b) 2) Bruk m.a. resultatet frå pkt a) til å forklarar at :$\text{[}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)\cdot 2^n}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{2}{t+2}dt.\text{]}$

c) Vis at :$\text{[}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\frac{x^{n+2}}{(n+1)\cdot 2^{n+1}}=x\cdot \ln (1+\frac{x}{2}),-2<x\le 2.\text{]}$

[Gustav]

Finn grensa

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{|A_{n+1}|}{|A_n|}$ der $A_n$ er n-te ledd i rekka, altså $|A_n|=\frac{|x{|}^n}{2^n}$:

$\frac{|A_{n+1}|}{|A_n|}=\frac{|x|}{2}$ så konvergensradius blir 2 (konvergensintervallet $-2<x<2$).

Siden

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^n=\frac{1}{1-r}$ får vi

med $r=\frac{-x}{2}$ at summen blir $\frac{1}{1-\frac{-x}{2}}$ når x ligger i konvergensintervallet.

[Gustav]

På b) 1) er det bare å bruke samme fremgangsmåten som i a).

På b) 2) bruker man antagelig taylorrekkeutviklinga til $\frac{2}{t+2}$ ($\frac{2}{t+2}=\sum _0^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\frac{t}{2}{)}^n$)og videre leddvis integrasjon (termwise integration). Ta utgangspunkt i integralet.

På c) kan du sette $x/2$ utenfor summen og bruke resultatet fra b) 2)