Hei!
Jeg lurer på dette med direkte sum av delvektorrom. De definisjonene jeg har lest har ikke gjort meg spesielt mye klokere. Så jeg trenger et par eksempler på direkte sum.
La f.eks. U, W være to delrom av V over et felt F. La U = {(a,a,0) for a i F^3}, og la W = {(0,b,b) for b i F^3). Hva er U+W?
[tex]U\oplus W=\{(a,a+b,a)| a \in F^3\}[/tex]?
Spørsmål om direkte sum
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
For at en sum av underrom skal være en direkte sum må den naturlige lineærtransformasjonen, si S, være injektiv:
[tex]S(v_1,v_2,...)=v_1+v_2+..[/tex]
der [tex]v_i\in H_i[/tex]. [tex]H_i[/tex] er underrom av et eller annet vektorrom.
Hvis [tex]v_1\neq 0[/tex] er element i flere underrom, f.eks. både [tex]H_1[/tex] og [tex]H_2[/tex], vil
[tex]S(v_1,0,0,..)=S(0,v_1,0,0..)[/tex] og den naturlige lin.transformasjonen er ikke lenger en-til-en, og summen er ikke lenger direktesum, så kravet er at snittet av alle underrommene i summen er kun 0-elementet (som må være med i ethvert underrom).
Det heter forresten vektorrom over en kropp, ikke felt.
[tex]S(v_1,v_2,...)=v_1+v_2+..[/tex]
der [tex]v_i\in H_i[/tex]. [tex]H_i[/tex] er underrom av et eller annet vektorrom.
Hvis [tex]v_1\neq 0[/tex] er element i flere underrom, f.eks. både [tex]H_1[/tex] og [tex]H_2[/tex], vil
[tex]S(v_1,0,0,..)=S(0,v_1,0,0..)[/tex] og den naturlige lin.transformasjonen er ikke lenger en-til-en, og summen er ikke lenger direktesum, så kravet er at snittet av alle underrommene i summen er kun 0-elementet (som må være med i ethvert underrom).
Det heter forresten vektorrom over en kropp, ikke felt.
Last edited by Gustav on 16/05-2009 15:54, edited 2 times in total.
Èn annen ting, [tex]a\in F[/tex] og ikke i [tex]F^3[/tex]. Jeg vet ikke om generaliseringen til vilkårlig kropp har noen hensikt i dette tilfellet, så man kan kanskje enklest si at [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex] er underrom i vektorrommet [tex]\mathbb{R^3}[/tex] over [tex]\mathbb{R}[/tex]. Jeg ville kanskje skrevet
[tex]U=span(1,1,0)\\W=span(0,1,1)\\ \Rightarrow V=U\oplus W=span((1,1,0),(0,1,1))[/tex]
Pga. lineær uavhengighet vil ethvert element i V dekomponere unikt i [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex], derfor er [tex]V[/tex] direktesummen av [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex].
Poenget er med andre ord å dekomponere vektorrom i direktesummen av underrom, og da må underrommene tilfredsstille [tex]U\cap W=(0)[/tex].
[tex]U=span(1,1,0)\\W=span(0,1,1)\\ \Rightarrow V=U\oplus W=span((1,1,0),(0,1,1))[/tex]
Pga. lineær uavhengighet vil ethvert element i V dekomponere unikt i [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex], derfor er [tex]V[/tex] direktesummen av [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex].
Poenget er med andre ord å dekomponere vektorrom i direktesummen av underrom, og da må underrommene tilfredsstille [tex]U\cap W=(0)[/tex].
Takk for svaretplutarco wrote:Èn annen ting, [tex]a\in F[/tex] og ikke i [tex]F^3[/tex]. Jeg vet ikke om generaliseringen til vilkårlig kropp har noen hensikt i dette tilfellet, så man kan kanskje enklest si at [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex] er underrom i vektorrommet [tex]\mathbb{R^3}[/tex] over [tex]\mathbb{R}[/tex]. Jeg ville kanskje skrevet
[tex]U=span(1,1,0)\\W=span(0,1,1)\\ \Rightarrow V=U\oplus W=span((1,1,0),(0,1,1))[/tex]
Pga. lineær uavhengighet vil ethvert element i V dekomponere unikt i [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex], derfor er [tex]V[/tex] direktesummen av [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex].
Poenget er med andre ord å dekomponere vektorrom i direktesummen av underrom, og da må underrommene tilfredsstille [tex]U\cap W=(0)[/tex].
Nå skjønner jeg hva det dreier seg om.