Induksjonsbevis

[FredrikM]

Let x be a real number such that $x+x^{-1}$ is an integer. Prove that $x^n+x^{-n}$ is an integer, for all positive integers n.

Usikker på om dette beviset holder:

For n=1 holder påstanden per definisjon. Antar den stemmer videre for alle n opp til $n=k-1$. Skal vise at dette medfører at det stemmer for $n=k$.

$c_{k-1}=x^{k-1}+x^{-(k-1)}=\frac{x^{2k-2}+1}{x^{k-1}}$

La oss gange denne med $c_1$ (som vi jo vet er et heltall):

$c_{k-1}{c}_1=\frac{x^{2k-2}+1}{x^{k-1}}\cdot \frac{x^2+1}{x}=\frac{x^{2k}+x^{2k-2}+x^2+1}{x^k}=\frac{x^{2k}+1}{x^k}+\frac{x^{2k-2}+x^2}{x^k}$

Den første delen av summen ovenfor er jo $c_k$. Nå holder det å forklare at den andre delen må være et heltall. Vi forkorter:

$\frac{x^{2k-2}+x^2}{x^k}=x^{k-2}+x^{-(k-2)}$

Fra induksjonshypotesen ser vi at dette også må være et heltall, og dermed er også $c_k$ et heltall.

Påstanden er bevist.

- - -

Spørsmålet mitt er så; holder beviset?

[Gustav]

I'd say yes,

men jeg ville forenklet, slik:

Del I
Formelen gjelder opplagt for $n=0$ og $n=1$

Del II
Anta at formelen gjelder for $n=k-2$ og $n=k-1$. Slik du har vist gjelder den dermed for $n=k$ (Du behøver ikke anta at den gjelder for alle n opptil $k-1$). Derfor gjelder formelen for alle positive heltall.

[FredrikM]

Finfint

Formelen gjelder opplagt for $n=0$ og $n=1$

Jeg har inntrykk av at med et "positive integer", så menes et heltall større enn null, altså 1,2,3... Men det er pirk. Lett å vise at formelen også gjelder for n=2.

[Gustav]

Finfint

Formelen gjelder opplagt for $n=0$ og $n=1$

Jeg har inntrykk av at med et "positive integer", så menes et heltall større enn null, altså 1,2,3... Men det er pirk. Lett å vise at formelen også gjelder for n=2.

Jo, det er sant at positve heltall vanligvis er 1,2,3.. etc.

Problemet er at du sier at du antar at formelen gjelder for n=1,2,..,k-1 og bruker senere at den derfor gjelder for k-2. Men hvis k=2 vil jo k-2=0 og du har ikke spesifisert at den gjelder for n=0, så det var noe rart akkurat der i argumentasjonen... For at induksjonen skal gjelde må du derfor vise at den gjelder for 2 påfølgende heltall.

[FredrikM]

For at induksjonen skal gjelde må du derfor vise at den gjelder for 2 påfølgende heltall.

Selvfølgelig. n=1 og n=2 er lette å vise.

n=2:

$(x^1+x^{-1})(x^1+x^{-1})=x^2+2+x^{-2}$
Trekker vi fra 2 her, får vi n=2, og dette er selvfølgelig et naturlig tall, siden for å få dette tallet, ganget vi sammen to naturlige tall (faktisk det samme).

Og dette fullfører beviset.

[Gustav]

Fint!

Du hadde jo det hele under kontroll hele tiden, og det var ikke meningen å pirke, men den siste presiseringen var vel strengt tatt nødvendig.

[FredrikM]

Matematikk er litt pirk, så pirk i vei. (dessuten vil jeg bli perfekt! )

[Gustav]

Matematikk er litt pirk, så pirk i vei. (dessuten vil jeg bli perfekt! )

Hehe, fin holdning;D