Integral

[Wentworth]

Noen ideer om hvordan man løser dette integralet:

[tex]\int_\:\frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}dx[/tex]

?

På forhånd takk for hjelpen!

[Gustav]

Ved substitusjonen [tex]u=x^2+1[/tex]

[Wentworth]

Prøver:

[tex]u=x^2+1[/tex]

[tex]\frac{du}{dx}=2x | \cdot dx[/tex]

[tex]du=2xdx | \frac{x^2}{2} [/tex]

[tex]\frac{x^2}{2}du=x^3dx[/tex]

[tex]u=x^2+1[/tex]
[tex]u-1=x^2[/tex]

Setter inn :

[tex]\frac{x^2}{2}du=x^3dx[/tex]
[tex]\frac{u-1}{2}du=x^3dx[/tex]

[tex]\int_\ \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int_\: \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} x^3dx=\int_\: \frac{1}{\sqrt{u}}\:\frac{(u-1)}{2}du=\frac{1}{2} \int_\: \frac{1}{\sqrt{u}}(u-1)du=\frac{1}{2} \int_\:\frac{u-1}{\sqrt{u}}du=\frac{1}{2} \int_\: \frac{u}{\sqrt{u}}-\frac{1}{\sqrt{u}}du[/tex]

Hvis det ikke er riktig til hit,hvordan blir det da?

[meCarnival]

[tex]dx= \frac{du}{2x}[/tex]

Kjøre flere ganger med substitusjon da til du har en konstant i teller'n...

[Wentworth]

Hvordan tenker du å substituere flere ganger?

[meCarnival]

Nei, ble bare feil.. Feriemodus =P.. Men skjønner ikke hvorfor du driver å multipliserer med [tex]\frac{x^2}{2}[/tex] ved der du utleder hva dx er lik...

Ser riktig ut og får integralet [tex]\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}}\,\,du\,-\,\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}}\,\,du[/tex]

[Wentworth]

For å få [tex]\: x^3 dx\:[/tex]. For det står [tex]\: x^3 \:[/tex] i telleren i integranden.Slik at man da får satt ned x^3 fra telleren og satt den ved siden av dx.Og da har man altså 1 tall i telleren.Samtidig har man funnet et uttrykk for du.Og kan derfor skrive integralet med u som variabel.

[Markonan]

Du tenker helt riktig og har gjort det rett over.

Merk at
[tex]\frac{u}{\sqrt{u}} = \sqrt{u}[/tex]

Og du kan skrive om:
[tex]\frac{1}{2}\int \sqrt{u} - \frac{1}{\sqrt{u}}du \;\Rightarrow[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\int \sqrt{u} du - \frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}} du \;\Rightarrow[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}} du - \frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}} du[/tex]

Edit: og det var vel det meCarnival sa... må slutte og kuppe tråder med resirkulert informasjon!

[Wentworth]

Ja, merka om potensregelen .

Og man ender med svaret:

[tex]\frac{1}{3} \sqrt{({x^2+1})^3} - \sqrt{(x^2+1)}[/tex]

Lurer nå på hvordan :

[tex]\frac{1}{3} \sqrt{(x^2+1)^3} - \sqrt{(x^2+1)}[/tex]

blir til:

[tex]\frac{1}{3}(x^2-2)\cdot \sqrt{(x^2+1)}[/tex]

?

[meCarnival]

[tex]\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}}dx\,-\,\frac{1}{2}\int x^{-\frac{1}{2}}dx[/tex]

[tex]\frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{x^3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{x}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{x^3}}{3} - \sqrt{x}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{(x^2+1)^3}}{3} - \sqrt{x^2+1}[/tex]

[tex]\frac{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3} - (x^2+1)^{\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]\frac{-\(3\sqrt{x^2+1}-(x^2+1)^{\frac{3}{2}}\)}{3}[/tex]

og på en finurlig måte kommer man over til

[tex]\frac{x^2\sqrt{x^2+1}}{3}\,-\,\frac{2\sqrt{x^2+1}}{3}[/tex]

[tex]\frac{(x^2-2)\sqrt{x^2+1}}{3}[/tex]

[Wentworth]

Husk at u=x^2+1. Og det er u som skal være i integranden, ikke x.

Jeg lurer fortsatt på hvordan dette:
[tex]\frac{1}{3} \sqrt{(x^3+1)^3} - \sqrt{(x^2+1)}[/tex]

blir til:

[tex]\frac{1}{3}(x^2-2)\cdot \sqrt{(x^2+1)}[/tex]

?

[meCarnival]

Jeg vet at u er integranden men det er det du selv skal holde styr på... Jeg bruker bare x her og vet hvor og hva jeg skal sette inn hen, men ser kun ikke den ene overgangen jeg har kommentert over...

[Wentworth]

Jeg mente bare at utledningen din blir riktig dersom du satte u i integranden.

Anngående overgangen ,har det skjedd slik:

[tex]\frac{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}-3(x^2+1)^{\frac{1}{2}}}{3}[/tex]

=[tex]\frac{\sqrt{(x^2+1)} \cdot \sqrt{(x^2+1)} \cdot \sqrt{(x^2+1)} - 3\sqrt{(x^2+1)}}{3}[/tex]

=[tex]\frac{(x^2+1) \cdot \sqrt{(x^2+1)}-3\sqrt{(x^2+1)}}{3}[/tex]

=[tex]\frac{x^2 \cdot \sqrt{(x^2+1)} + 1 \cdot \sqrt{(x^2+1)}-3\sqrt{(x^2+2)}}{3}[/tex]

=[tex]\frac{x^2 \cdot \sqrt{(x^2+1)}-2\sqrt{(x^2+1)}}{3}[/tex]

=[tex]\frac{1}{3}(x^2-2) \sqrt{(x^2+1)}[/tex]

[Markonan]

Jeg lurer fortsatt på hvordan dette:
[tex]\frac{1}{3} \sqrt{(x^3+1)^3} - \sqrt{(x^2+1)}[/tex]

blir til:

[tex]\frac{1}{3}(x^2-2)\cdot \sqrt{(x^2+1)}[/tex]

Disse uttrykkene er ikke like. Du har ikke integrert riktig.

[Wentworth]

Vet du hvorfor? Fordi det står 3 som potens i det første uttrykket over x, der skal det stå 2 . Og da jeg løste integralet fikk jeg potensen 2 over x i det første uttrykket og ikke 3.Integralet er riktig løst.