Vis ved induksjon at for n=1,2,3,... gjelder
[tex]\sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{i}=\sum_{m=1}^{2n}\frac{(-1)^{m+1}}{m}[/tex]
Oppgaven er lenger, men jeg håper på at jeg vil klare å få til den alene, med litt hjelp med den første delen herfra.
Jeg forstår virkelig ikke hvordan de skal bli like. Jeg trodde at en [tex]\sum\frac{1}{n^p}[/tex] der [tex]p\leq1[/tex] divergerte.
Når jeg prøver meg på induksjon, ender jeg alltid opp med en alternerende rekke på den ene siden av likhetstegnet, og en ikke-alternerende på den andre.
Induksjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det er riktig at [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}[/tex] konvergerer for alle reelle [tex]p>1[/tex].Nassern wrote:Vis ved induksjon at for n=1,2,3,... gjelder
[tex]\sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{i}=\sum_{m=1}^{2n}\frac{(-1)^{m+1}}{m}[/tex]
Oppgaven er lenger, men jeg håper på at jeg vil klare å få til den alene, med litt hjelp med den første delen herfra.
Jeg forstår virkelig ikke hvordan de skal bli like. Jeg trodde at en [tex]\sum\frac{1}{n^p}[/tex] der [tex]p\leq1[/tex] divergerte.
Når jeg prøver meg på induksjon, ender jeg alltid opp med en alternerende rekke på den ene siden av likhetstegnet, og en ikke-alternerende på den andre.
Formelen gjelder for n=1 siden venstresida er
[tex]\sum_2^2\frac1i=\frac12[/tex] og høyresida er
[tex]\sum_1^2 \frac{(-1)^{m+1}}{m}=1-\frac12=\frac12[/tex]
Anta at formelen gjelder for en bestemt n.
Da er
[tex]\sum_{i=(n+1)+1}^{2(n+1)}\frac{1}{i}=\sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{i}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}=\sum_{m=1}^{2n}\frac{(-1)^{m+1}}{m}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}=\sum_{m=1}^{2n}\frac{(-1)^{m+1}}{m}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac12(\frac{1}{n+1})=\sum_{m=1}^{2n}\frac{(-1)^{m+1}}{m}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}=\sum_{m=1}^{2(n+1)}\frac{(-1)^{m+1}}{m}[/tex]
Følgelig gjelder formelen for n+1. Q.e.d.
Nassern wrote: Jeg forstår virkelig ikke hvordan de skal bli like. Jeg trodde at en [tex]\sum\frac{1}{n^p}[/tex] der [tex]p\leq1[/tex] divergerte.
Det er riktig at den uendelige summen divergerer.
Men den formelen du skal vise gjelder for endelige n. Dermed vil vi ha en endelig sum av endelige tall, som følgelig er konvergent.
Kan man i det hele tatt snakke om konvergens for endelige summer?Dermed vil vi ha en endelig sum av endelige tall, som følgelig er konvergent.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)