Diofantisk likning

[kimjonas]

Jeg har en likning som lyder:

[tex]372x+465y=93[/tex]
Jeg løser den først med den omvendte euklidalgoritmen og får svaret:
[tex]x=-1[/tex] og [tex]y=1[/tex]

Så prøver jeg å løse den med kongruens..

[tex]372x\equiv 93(mod465)[/tex], men da får jeg et annet svar.

[tex]x=4[/tex] og [tex]y=-3[/tex]

Begge svarene er mulige, men ..
Hvorfor får jeg to forskjellige løsninger i denne oppgaven? Jeg løste to lignende oppgaver tidligere, men da fikk jeg likt svar når jeg løste med kongruens og den omvendte euklidalgoritmen[/b]

[Gustav]

Deler du på 93 får du ligninga

[tex]4x+5y=1[/tex]

med løsning x=-1, y=1.

Anta at (x,y) løser ligninga. Da vil (x+5k,y-4k) løse ligninga for heltallige k.

Setter vi k=1 får vi den samme løsningen som du har funnet ved hjelp av den andre metoden.

[kimjonas]

blir det ikke (x-5k,y+4k)? Og hvorfor kan man sette k=1

sfd(4,5) = 1

Kan man ikke da bare sette k=0? Tror jeg har fått blandet noen regler her

[Gustav]

blir det ikke (x-5k,y+4k)? Og hvorfor kan man sette k=1

sfd(4,5) = 1

Kan man ikke da bare sette k=0? Tror jeg har fått blandet noen regler her

Ligninga har uendelig mange løsninger og den formen du har skrevet de på er identisk, som løsningsmengde, med min. F.eks. vil én løsning fremkomme (med din skrivemåte) ved at man setter k=-1.

[kimjonas]

blir det ikke (x-5k,y+4k)? Og hvorfor kan man sette k=1

sfd(4,5) = 1

Kan man ikke da bare sette k=0? Tror jeg har fått blandet noen regler her

Ligninga har uendelig mange løsninger og den formen du har skrevet de på er identisk, som løsningsmengde, med min. F.eks. vil én løsning fremkomme (med din skrivemåte) ved at man setter k=-1.

Ok.. Takk! Så det er egentlig flere løsninger, selv om fasiten sier bare én?

[kimjonas]

Hvorfor får jeg ikke likt svar som fasiten?

Knut arbeider 20 dager i måneden. Til jobben bruker han bil, og han velger alltid vei A eller vei B. På vei A må han betale 12 kr i bomavgift og på vei B 15 kr. Når han kjører hjem, velger han alltid en vei uten bomavgift. En måned betalte han til sammen 279 kr i bomavgift.

Jeg løser med kongruens står igjen med [tex]x \equiv 2(mod5)[/tex] => [tex]x=2+5k[/tex]

Siden sdf(12,15) = 3, er det etter min oppfatning 3 ulike verdier for x, sant? men hvordan vet jeg hvilken verdi som er rett? Fasiten velger k=1.. jeg valgte k=0, noe som ble feil da jeg rettet etter fasit

[mrcreosote]

Dette løser du lettere som 2 ligninger i 2 ukjente.

[kimjonas]

Dette løser du lettere som 2 ligninger i 2 ukjente.

Hvordan kan jeg det? Jeg har jo fremdeles bare en likning?

[mrcreosote]

Da har du ikke brukt alle opplysningene i teksten; matematikkoppgaver inneholder sjeldent noe overflødig.

[kimjonas]

Da har du ikke brukt alle opplysningene i teksten; matematikkoppgaver inneholder sjeldent noe overflødig.

Jeg tror da ikke at det blir lettere på den måten.. Da får jeg bare nok en annen løsning av x=2+5k .. altså x=-83 og y=85

Hvordan kan jeg vite hvilken løsning av k jeg skal bruke? (kongruens)

[mrcreosote]

Fra opplysningene i teksten kan du lage deg 2 ligninger i antall turer på vei A og B, og dette er definitivt greiere enn å løse problemet ved hjelp av lineære kongruenser.

[kimjonas]

Fra opplysningene i teksten kan du lage deg 2 ligninger i antall turer på vei A og B, og dette er definitivt greiere enn å løse problemet ved hjelp av lineære kongruenser.

Ja,takk.. fikk til nå, men det spørsmålet mitt står fremdeles ubesvart..

Hvordan kan jeg vite hvilken løsning av k jeg skal bruke, i hvilken som helst diofantisk likning? (kongruens)