Likning med komplekse tall.

[illva]

Hei.
Jeg lurte litt på en likningsoppgave med komplekse tall.

"Solve the following equations for the real numbers, x and y."

[tex](\frac{1+i}{ 1-i})^2 + \frac{1}{x+iy} = 1 + i[/tex]

Har ikke kommet så langt men jeg har kommet til at (dropper mellomregninger, men om det er feil kan jeg vise hvordan jeg kom frem til det):

[tex](\frac{1+i}{ 1-i})^2 ==> -1 [/tex]

dermed blir likningen:

[tex]-1 + \frac{1}{x+iy} = 1 + i[/tex]

men hvor jeg går videre nå lurer jeg litt på. så noen hint hadde vært fint

[Markonan]

Stusset litt på hva du hadde skrevet, men så skjønte jeg det!
Koden for implikasjonspil er \Rightarrow
[tex]\Rightarrow[/tex]

Du har rett i at det er -1. Så du har:

[tex]-1 + \frac{1}{x+iy} = 1+i[/tex]

Flytter over -1.
[tex]\frac{1}{x+iy} = 2+i[/tex]

Ganger begge sider med x+iy
[tex]1 = (2+i)(x+iy)[/tex]

Og nå har du fått en liten dytt!

[illva]

Ok, så da har jeg kommet til et svar, skriver ikke utregninger da jeg er litt dårlig med tex, men jeg kan skrive så dere kan se hvor jeg evt har feil.

Men de svarene jeg har kommet til er:

[tex]x=(2+i)^{-1} [/tex], og [tex] y=(2i-1)^{-1}[/tex]

[Markonan]

Ok, det er nok ikke riktig.

Jeg vet ikke hva du har gjort feil, men svaret du kom frem til tyder på at du hopper over et veldig viktig steg. Jeg kan vise deg litt mer.

[tex]1 = (2+i)(x+iy)[/tex]

Ganger ut høyresiden.

[tex]1 = 2x + 2iy + ix + i^2y[/tex]

[tex]1 = 2x + 2iy + ix - y[/tex]

Nå samler vi realdelen og imaginærdelen på høyresiden.

[tex]1 = 2x - y + 2iy + ix [/tex]

Faktoriserer ut i.

[tex]1 = (2x - y) + i(2y + x) [/tex]

Dette skal være helt lik 1 som vi har på venstresiden. 1 er et komplekst tall med realdel 1 og imaginærdel lik 0! Derfor må vi ha:
[tex]2x-y = 1[/tex]

[tex]2y + x = 0[/tex]

Dette løser du som et ligningssystem med to ukjente, med f.eks innsetingsmetoden.

Edit
Når du har funnet et svar, kan du sette det inn i den opprinnelige ligningen for å se om venstresiden blir lik høyresiden. Svaret du kom frem til gjør dette litt vrient, men da blir venstresiden lik 0 + 0.5i, som er ulikt høyresiden og derfor galt. Prøv dette når du har funnet en ny løsning!