Ny oppgave;
Espen har stablet hermetikkbokser oppå hverandre i en slags pyramideform slik at det øverste laget består av `en boks, det neste laget av tre bokser plasser i trekant, det neste laget der igjen av seks bokser plassert i trekant osv.
b) Vis at det totale antallet av boksene i de øverste lagene er gitt ved;
[tex]\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex]
Noen tips?
En ny formelbevis (hermetikkboksene)
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
hehe, tenkte på det da så da fikk jeg;
antar at p_k stemmer da er ;
[tex]\frac{k(k+1)(k+2)}{6}[/tex]
Videre er p_k+1 ;
[tex]\frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}{6}[/tex]
[tex]\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}[/tex]
[tex]\frac{(k^2+3k+2)(k+3)}{6}[/tex]
[tex]\frac{k^3+3k^2+3k^2+9k+2k+6}{6}[/tex]
[tex]\frac{k^3+9k^2+11k+6}{6}[/tex]
da er det bare å finne hvilke ledd som må legges til p_k for å få p_k+1.
antar at p_k stemmer da er ;
[tex]\frac{k(k+1)(k+2)}{6}[/tex]
Videre er p_k+1 ;
[tex]\frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}{6}[/tex]
[tex]\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}[/tex]
[tex]\frac{(k^2+3k+2)(k+3)}{6}[/tex]
[tex]\frac{k^3+3k^2+3k^2+9k+2k+6}{6}[/tex]
[tex]\frac{k^3+9k^2+11k+6}{6}[/tex]
da er det bare å finne hvilke ledd som må legges til p_k for å få p_k+1.
Følte at det var no her som ikke stemte ja hehe.Prøver overgangen på ny og får for p_k+1;
[tex]\frac{k^3+6k^2+11k+6}{6}[/tex]
Dermed gjenstår det å sjekke om det er dette jeg får ved å plusse på et ledd med følgende uttrykk ;
[tex]\frac{k(k+1)(k+2)}{6}[/tex]
De leddene jeg legger til dette uttrykket er [tex]\: \frac{1}{2}k^2+\frac{3}{2}k+1\:[/tex], dermed får jeg(som jeg senere ganger med 6 for å få om til samme brøk);
[tex]\frac{k^3+3k^2+2k}{6} + \frac{1}{2}k^2+\frac{3}{2}k+1[/tex]
Får alle over til samme brøk;
[tex]\frac{k^3+3k^2+2k+3k^2+9k+6}{6}[/tex]
[tex]\frac{k^3+6k^2+11k+6}{6}[/tex]
Altså har jeg nå fått p_k+1.
[tex]\frac{k^3+6k^2+11k+6}{6}[/tex]
Dermed gjenstår det å sjekke om det er dette jeg får ved å plusse på et ledd med følgende uttrykk ;
[tex]\frac{k(k+1)(k+2)}{6}[/tex]
De leddene jeg legger til dette uttrykket er [tex]\: \frac{1}{2}k^2+\frac{3}{2}k+1\:[/tex], dermed får jeg(som jeg senere ganger med 6 for å få om til samme brøk);
[tex]\frac{k^3+3k^2+2k}{6} + \frac{1}{2}k^2+\frac{3}{2}k+1[/tex]
Får alle over til samme brøk;
[tex]\frac{k^3+3k^2+2k+3k^2+9k+6}{6}[/tex]
[tex]\frac{k^3+6k^2+11k+6}{6}[/tex]
Altså har jeg nå fått p_k+1.