Oppgaven er hentet fra aschehougs R2 bok, oppg. 159a)
Vi har gitt punktene A(2,0,2) og B(4,2,0). La P(x,y,z) være et punkt som er like langt fra A som fra B.
a) Et plan ligger midt i mellom A og B. Bestem ligningen for dette planet.
Da trenger vi ett punkt og en normalvektor til planet. Hvilke to vektorer er det som skal brukes til å finne normalvektoren?
Ligning for et plan
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Dette kan gjøres på flere måter. En strategi kan være å finne et punkt i planet, for deretter å gå avstanden 6 langs normalvektoren til du kommer til et punkt i det nye planet.
For å finne et punkt er det enklest å sette z og y lik 0. Da har du x - 9 = 0 som gir punktet P(9,0,0). Normalvektoren har lengden [tex]\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3[/tex]. Så [tex]\vec{OP} + 2 \vec{n}[/tex] gir deg koordinatene til punktet i det nye planet. Da har du et punkt og en normalvektor. Mer trenger du ikke for å finne ligningen. Hvordan tror du du går frem for å finne det andre av to parallelle plan?
For å finne et punkt er det enklest å sette z og y lik 0. Da har du x - 9 = 0 som gir punktet P(9,0,0). Normalvektoren har lengden [tex]\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3[/tex]. Så [tex]\vec{OP} + 2 \vec{n}[/tex] gir deg koordinatene til punktet i det nye planet. Da har du et punkt og en normalvektor. Mer trenger du ikke for å finne ligningen. Hvordan tror du du går frem for å finne det andre av to parallelle plan?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Hvorfor gir to vektorer et punkt og ikke en ny vektor? Er det alltid lovlig å bruke [tex]\vec{OP}[/tex], den trenger jo ikke nødvendigvis å være en av linjene som planet er bygd opp av (?)Vektormannen skrev:Så [tex]\vec{OP} + 2 \vec{n}[/tex] gir deg koordinatene til punktet i det nye planet.
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Unnskyld, [tex]\vec{OP} + 2 \vec{n}[/tex] gir deg posisjonsvektoren til punktet i det nye planet. Og posisjonsvektoren gir deg koordinatene. Husk at [tex]\vec{OP}[/tex] bare er posisjonsvektoren til P, altså en vektor fra O til P. Hvis du summerer denne vektoren med 2 ganger lengden til normalvektoren får du posisjonsvektoren til et punkt i det nye planet (et punkt med avstand 6 fra punktet vi fant i det opprinnelige planet.)
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Takk for svar, men har to oppgaver til her som jeg ikke får til..
1. To plan har x-aksen som skjæringslinje. P(2, -5, 1) er et punkt i det ene planet og Q(-2, 1, 0) er et punkt i det andre planet. Finn vinkelen mellom planene.
Da trenger jeg normalvektorene til planene, men hva vil det egentlig si at planene har x-aksen som skjæringslinje? At de krysser hverandre i et hvilket som helst punkt i x-aksen?
2. Et plan inneholder x-aksen og danner vinkelen 30grader med xy-planet (som da har normalvektor [0,0,1] )
Finn en ligning for planet (planet er ikke éntydig bestemt)
Noen hint?
1. To plan har x-aksen som skjæringslinje. P(2, -5, 1) er et punkt i det ene planet og Q(-2, 1, 0) er et punkt i det andre planet. Finn vinkelen mellom planene.
Da trenger jeg normalvektorene til planene, men hva vil det egentlig si at planene har x-aksen som skjæringslinje? At de krysser hverandre i et hvilket som helst punkt i x-aksen?
2. Et plan inneholder x-aksen og danner vinkelen 30grader med xy-planet (som da har normalvektor [0,0,1] )
Finn en ligning for planet (planet er ikke éntydig bestemt)
Noen hint?
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
1. Ja, dette betyr at alle punktene som planene har felles, er på x-aksen. Er sikkert en illustrasjon på dette i boken din eller noe. For å finne en normalvektor trenger du tre punkt. Du vet allerede ett punkt i hvert plan, nemlig P og Q. Videre vet du at x-aksen skal være med i begge planene.
2. Denne kan sikkert gjøres på mange måter. Her kan du f.eks. finne et punkt i planet og deretter følge samme fremgangsmåte som i 1. For å finne et punkt bestemmer du først x- og y-koordinatene. Disse kan du velge fritt. Så gjenstår det å finne den tilsvarende z-koordinaten. Da bruker du at planet skal danne vinkelen 30 grader med xy-planet. Tegner du en figur så ser du at det betyr at [tex]z = \tan 30^\circ \cdot y[/tex].
Alternativt: du kan tegne en skisse med planene og normalvektoren du skal finne. Denne vet du skal danne 30 grader med z-aksen. Dette gir en enkel trekant. Hvis vi sier at z-komponenten er 1, da gir en trekantskisse at y-komponenten må være [tex]y = \tan 30^\circ \cdot 1 = \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex].
2. Denne kan sikkert gjøres på mange måter. Her kan du f.eks. finne et punkt i planet og deretter følge samme fremgangsmåte som i 1. For å finne et punkt bestemmer du først x- og y-koordinatene. Disse kan du velge fritt. Så gjenstår det å finne den tilsvarende z-koordinaten. Da bruker du at planet skal danne vinkelen 30 grader med xy-planet. Tegner du en figur så ser du at det betyr at [tex]z = \tan 30^\circ \cdot y[/tex].
Alternativt: du kan tegne en skisse med planene og normalvektoren du skal finne. Denne vet du skal danne 30 grader med z-aksen. Dette gir en enkel trekant. Hvis vi sier at z-komponenten er 1, da gir en trekantskisse at y-komponenten må være [tex]y = \tan 30^\circ \cdot 1 = \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex].
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Hei
Jeg sliter også med oppgave 2. Fasiten viser y + (kvadratoten av 3)z
V y - (kvadratoten av 3)z.
I forrige innlegg står det at normalvektoren til planet danner 30 grader med z-aksen? Hvordan kommer man frem til det? Sikkert et dumt spørsmål.
Jeg sliter også med oppgave 2. Fasiten viser y + (kvadratoten av 3)z
V y - (kvadratoten av 3)z.
I forrige innlegg står det at normalvektoren til planet danner 30 grader med z-aksen? Hvordan kommer man frem til det? Sikkert et dumt spørsmål.
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Vinkelen mellom planet og xy-planet skal være 30 grader. Da må vinkelen mellom normalvektoren til planene også være 30 grader. Er du med på at normalvektoren til xy-planet er parallell med z-aksen?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Du kan basert på det ovenfor, finne en vektor i det nye planet. I tillegg vet du at x-aksen ligger i det, så da har du en annen vektor. Da kan du finne normalvektoren, og da går resten greit?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Vektoren [1,0,0] (for eksempel) må jo ligge i planet siden x-aksen ligger i planet!
Elektronikk @ NTNU | nesizer