hei, sitter med en oppgave der jeg sliter noe sinnsykt!
d/dx[ln(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)]
jeg vet ikke om jeg skal løse først som brøk, eller derivere e først.
Hvis jeg deriverer alle e'ene får jeg:
(e^x-(-1e^-x))/(e^x+(-1e^-x))
og da lurer jeg på om jeg bare kan stryke like over og under brøken. poenget er at Mathcad vil at denne brøken er lik 0!!
hjelp takk:)
derivasjon med e
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Grothendieck
- Posts: 828
- Joined: 13/10-2007 00:33
Du sparer deg for mye bry hvis du legger merke til at:
[tex]\frac {e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=tanh(x)[/tex]
[tex]\frac {d}{dx}ln(tanh(x))=\frac{1}{tanh(x)} \cdot (tanh(x))\prime=\frac{1}{\frac{sinh(x)}{cosh(x)}}\cdot sech^2{x}=\frac {cosh(x)}{sinh(x)}\cdot \frac{1}{cosh^2(x)}=\frac{1}{cosh(x)\cdot sinh(x)} [/tex]
[tex]\frac {e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=tanh(x)[/tex]
[tex]\frac {d}{dx}ln(tanh(x))=\frac{1}{tanh(x)} \cdot (tanh(x))\prime=\frac{1}{\frac{sinh(x)}{cosh(x)}}\cdot sech^2{x}=\frac {cosh(x)}{sinh(x)}\cdot \frac{1}{cosh^2(x)}=\frac{1}{cosh(x)\cdot sinh(x)} [/tex]
takk for svar, men dette skjønner jeg ikke shiten av.. haha. jeg forstår ikke hvilke tegn du har brukt og tviler på dette er utregningsmåten blir godkjent i og med at vi aldri har vært innom dette. finnes det en "enklere" måte å regne det ut på? 

-
- Grothendieck
- Posts: 828
- Joined: 13/10-2007 00:33
Dette er den enkleste! Hehe...
[tex]sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/tex]
og
[tex]cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/tex]
Disse er kalt hyberbolske funksjoner som du kan lese mer om her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
Men over til oppgaven:
[tex]ln \left (\frac {e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \right)[/tex]
[tex]\frac{d}{dx} \ ln \left (\frac {e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \right )=\huge \frac {1}{\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}\cdot \left (\frac {e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \right )\prime[/tex]
[tex]=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \cdot \left (\frac {e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \right )\prime[/tex]
Tar du det fra her?
[tex]sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/tex]
og
[tex]cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/tex]
Disse er kalt hyberbolske funksjoner som du kan lese mer om her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
Men over til oppgaven:
[tex]ln \left (\frac {e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \right)[/tex]
[tex]\frac{d}{dx} \ ln \left (\frac {e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \right )=\huge \frac {1}{\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}\cdot \left (\frac {e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \right )\prime[/tex]
[tex]=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \cdot \left (\frac {e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \right )\prime[/tex]
Tar du det fra her?