Derivasjon

[nelenna]

Noen som kan hjelpe meg med å derivere følgende funksjoner?

f (x) = ln (x³-3x²)

og

f (x) = xlnx

Jeg sliter med utrekningen og er sikker på at jeg har gjort feil.

[Andreas345]

Tips:

Husk kjerneregelen på den første oppgaven, og produktregelen på den andre.

For øvrig kan du postet hva du har fått, sånn at vi kan bekrefte om det er feil eller ikke.

[nelenna]

Hei, takk for raskt svar. Jeg hadde satt den første opp slik til å begynne med.

f (x) = ln (x³- 3x²)
f ’ (x) = ln ( a ∙ b) = lna + lnb
f ’ (x) = lnx³ + ln3x²

[nelenna]

Og på den andre, om jeg bruker produktregelen:

f (x) =xlnx

f ’ (x) = 0 ∙ lnx + x ∙ ½

[Betelgeuse]

Du kan enten bruke det du skriver med at:

[tex]\ln (ab) = \ln a + \ln b[/tex]

Men dette gjelder bare for ln generelt, ikke den deriverte av ln. Så du kan ekspandere ln(ab) ut til ln(a) + ln(b) og så derivere disse leddene individuelt.

Her må du også bruke kjærneregelen etterpå, men det kan gjøre utregningene litt lettere.

Den deriverte av enhver naturlig logaritme er:

[tex](\ln x)^\prime = \frac{1}{x}(x)^\prime[/tex]

Videre er forøvrig den deriverte av x lik 1 og ikke 0.

[Betelgeuse]

For [tex]f (x) = \ln (x^3-3x^2)[/tex] kan du forresten ikke bruke at [tex]\ln (ab) = \ln a + \ln b[/tex] fordi du har en differanse og ikke et produkt inne i logaritmen.

[nelenna]

Ok; så hvis jeg bruker kjerneregelen videre blir det noe i følgende retning da?


f (x) = ln (x³- 3x²) f (x) = ln ( a ∙ b) = lna + lnb
f (x) = lnx³ + ln3x²

f ’ (x) = lnx³ + ln3x² ∙ 3lnx² + lnx6x
= lnx³ + ln3x² ∙ 6lnx + ln6x

Det er sikkert feil dette også :/ Må nok begynne å regne flere oppgaver ser jeg.

[nelenna]

For [tex]f (x) = \ln (x^3-3x^2)[/tex] kan du forresten ikke bruke at [tex]\ln (ab) = \ln a + \ln b[/tex] fordi du har en differanse og ikke et produkt inne i logaritmen.

Ja, skjønner. Men det er vanlig å bruke regler for log (hvis det går) før man evt. også derverer. Dette er noe man kan velge så lenge man viser hva man gjør da?

[Betelgeuse]

Det kommer litt ann på smak og behag. Det kan fort forenkle regningene mye. Hvis man har et produkt inne i logaritmen så vil man jo også bli nødt til å bruke både kjærneregelen og produktregelen. Men det er absolutt gyldig begge veier.

Jeg kan vise begge to i det generelle tilfellet. Husk på at a og b kan være hva som helst.

vi har [tex]f(x) = \ln (ab)[/tex]

da kan vi enten ekspandere før vi deriverer, for så å derivere:

[tex]f(x) = \ln (ab) = \ln a + \ln b[/tex]

[tex]f^\prime (x) = (\ln a)^\prime + (\ln b)^\prime = \frac{1}{a} a^\prime + \frac{1}{b} b^\prime[/tex]

Eller derivere direkte

[tex]f^\prime (x) = \frac{1}{ab} (ab)^\prime = \frac{1}{ab} (a^\prime b + a b^\prime) = \frac{b}{ab}a^\prime + \frac{a}{ab}b^\prime = \frac{1}{a} a^\prime + \frac{1}{b} b^\prime[/tex]

Som du ser så blir resultatet det samme. Hvis a f.eks bare er lik x trenger du ikke bruke kjærneregelen i regningen

[tex] \frac{1}{a} a^\prime[/tex] fordi du da får [tex] \frac{1}{x} x^\prime[/tex] og den deriverte av x er bare 1.

[Betelgeuse]

Hvis du synes et mere konkret eksempel er mere opplysende:

[tex]f(x) = \ln (x^2(2-x)) = \ln x^2 + \ln (2-x)[/tex]

Så deriverer vi

[tex]f^\prime (x) = \frac{1}{x^2}2x + \frac{1}{2-x}(-1) = \frac{2}{x} - \frac{1}{2-x}[/tex]

Får du det til?

[nelenna]

Jeg håper det. Tar utgangspunkt i ditt eksempel og ser hvor langt jeg kommer. Tusen takk for hjelpen. Det var snillt.

[nelenna]

Men det var dette med at det ikke gikk an å ekspandere hvis det var minus i funksjonen. Da må man derivere direkte. Jeg sliter litt da igjen. Men jeg skal da bruke kjerneregelen og da setter jeg inn etter f ’ (u) ∙ u’

Hvordan får du til å sette "delt på" tegn forresten her inne? Fikk det ikke til jeg Må få det til for å vise hvordan jeg har regnet

[Betelgeuse]

Det er implimentert en kode her på forumet sånn at du kan skrive matematiske formler pent og ryddig. Annbefales veldig hvis du har tenkt til å bruke forumet en del: Du kan lese litt om den her:

http://www.forkosh.com/mimetextutorial.html

for å skrive en brøk [tex]\frac{1}{x}[/tex] skriver du: ['tex]\frac{1}{x}['/tex]

(unntatt '-ene som jeg skrev slik at koden ikke skulle bli lest)

I mellomtiden får du bare bruke '/'

[nelenna]

Okei, ja regner med jeg kommer til å bruke denne siden litt i fremtiden da jeg studerer mye hjemmefra (vanskelig å lære seg matte på egenhånd) men til oppgaven, ser dette rett ut?

f (x) = ln (x³- 3x²)

f ’ (x) = [tex]\frac{1}{xˆ3-3xˆ2}[/tex] ∙ [tex]\frac{1}{xˆ3}[/tex] 3x - [tex]\frac{1}{xˆ2}[/tex] 6x

[Betelgeuse]

Nesten:

[tex] f(x) = \ln (x^3- 3x^2)[/tex]
[tex]f^\prime (x) = \frac{1}{x^3 - 3x^2} (3x^2 - 6x)[/tex]

Det er (x^3 - 3x^2) som er kjærnen i uttrykket ditt, så den deriverte av kjærnen som du må gange med blir (3x^2 - 6x). For å skrive dette slik som ovenfor skrev jeg forresten:

['tex]f^\prime (x) = \frac{1}{x^3 - 3x^2} (3x^2 - 6x)[/tex']