Kompleks trigonometri

[alibi]

Prøver å vise at $sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$, ved hjelp av eulers formel.
Men greier ikke helt å starte.

noen tips?

[alibi]

greide den

[alibi]

blei litt usikker på svaret mitt. føler at jeg viser dette noenlunde baklengs:

$e^{iz}=\cos z+i\sin z$

$e^{-iz}=\cos z-\sin z$


$e^{iz}-e^{-iz}=(\cos z+i\sin z)-(\cos z-i\sin z)$

$2i\sin z=e^{iz}-e^{-iz}$

$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$


er det et tilfredstillende svar på oppgaven, eller burde jeg gå fram en annen vei?

[moth]

Det står jo at du skal bruke Eulers formel så det er jo ikke bakvendt.

[alibi]

ny oppgave, nytt spørsmål:

skal finne:

$\sin (z_1+z_2)$
$\cos (z_1+z_2)$

starter med:

$e^{i(z_1+z_2)}=\cos (z_1+z_2)+i\sin (z_1+z_2)$

$e^{i(z_1+z_2)}=e^{i{z}_1}\cdot e^{i{z}_2}=(\cos (z_1)+i\sin (z_1)i\sin (z_1))\cdot (\cos (z_2)+i\sin (z_2))$


og ender opp med:

$\cos (z_1+z_2)+i\sin (z_1+z_2)=(\cos (z_1)\cos (z_2)-\sin (z_1)\sin (z_2))+i(\sin (z_1)\cos (z_2)+\cos (z_1)\sin (z_2))$

hva nå? kan jeg gjøre det så enkelt at jeg kan isolere realdel og imaginærdel hver for seg. Da sitter jeg igjen med svaret, men jeg tør ikke

[FredrikM]

Ja, du kan ta realdelen og imaginærdelen hver for seg, for et komplekst tall $z_1$ er likt et "annet" komplekst tall $z_2$ hvis og bare hvis realdelen og imaginærdelen i begge tallene er like. $a+ib=c+id\iff a=c\text{ og }b=d$