Avgjør om funksjonen er kontinuerlig

[pushittothelimit]

[tex]f(x)=x^{2}-1[/tex] for [tex]x>1[/tex]
[tex]f(x)=-x+1[/tex] for [tex]x\leq1[/tex]

Jeg ser at den er kontinuerlig.

Hvordan skriver/viser jeg det formelt?

Mitt forsøk:

[tex]\lim_{x \rightarrow 1^{+}} x^{2}-1[/tex]

[tex]= 1^{2}-1 = 0[/tex]

-----

[tex]\lim_{x \rightarrow 1^{-}} -x+1[/tex]

[tex]= -1+1 = 0[/tex]

-----

[tex]f(1) = -1+1 = 0[/tex]

Ser at funksjonen nærmer seg 0 ovenfra og nedenfra, og i punktet er den 0. Er dette rett måte å skrive dette på?

[Betelgeuse]

Tja. En formulering av kontinuitetskritieret er at en funksjon f er kontinuerlig i et punkt a hvis og bare hvis

[tex]\lim_{x\to a} f(x) = f(a)[/tex].

Og denne grensen må eksistere. Det gjør den bare hvis

[tex]\lim_{x \to a^-}f(x) = \lim_{x \to a^+}f(x)[/tex]

Så du har essensielt vist alt du trenger å vise for at funksjonen er kontinuerlig i x=1.

[pushittothelimit]

Så derfor er det mer korrekt og skrive følgende...

[tex]\lim_{x \rightarrow 1^{-}} -x+1 = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} x^{2}-1[/tex]

[tex]-1+1 = 0 = 1^{2}-1 = 0[/tex]

Grensen eksisterer.

[tex]0=f(1)[/tex]

Det er korrekt siden:

[tex]f(1) = -1+1 = 0[/tex]

Funksjonen er kontinuerlig.

Bedre?