Kompleks ligning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Wentworth
Riemann
Riemann
Posts: 1521
Joined: 08/04-2007 15:47
Location: Oslo

[tex]1+iz-z^2-iz^3+z^4=0[/tex]

Hvordan løser man denne ligningen?

På forhånd takk!
Karl_Erik
Guru
Guru
Posts: 1080
Joined: 22/10-2006 23:45

Legg merke til at venstresiden også kan skrives som [tex]1+iz+(iz)^2+(iz)^3+(iz)^4[/tex]. Gjør du substitusjonen [tex]w=iz[/tex] blir likningen [tex]1+w+w^2+w^3+w^4=0[/tex], og denne tar du kanskje selv?
Wentworth
Riemann
Riemann
Posts: 1521
Joined: 08/04-2007 15:47
Location: Oslo

Prøver å få andregradslikning av den fjerdegradsligning som du viser til med ukjent w.
Dermed setter jeg [tex]\: w^2=u[/tex]

og får:

[tex]u^2+uw+u+w+1=0[/tex]

Hvordan løser man denne da?Hvis det ikke skal løses slik videre med en andregradsformel, hvordan skal den fjergradslikningen med w som ukjent løses da?Isåfall når jeg prøver å løse med andregradsformelen så får jeg en komplisert kvadratrot i andregradsformelen sammen med annet....
FredrikM
Poincare
Poincare
Posts: 1367
Joined: 28/08-2007 20:39
Location: Oslo
Contact:

Hint:

[tex]1+x+x^2+...+x^r=\frac{1-x^{r+1}}{1-x}[/tex]
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Markonan
Euclid
Euclid
Posts: 2136
Joined: 24/11-2006 19:26
Location: Oslo

Wentworth wrote:Prøver å få andregradslikning av den fjerdegradsligning som du viser til med ukjent w.
Den fremgangsmåten funker bare når du har polynomer på formen
[tex]x^{2n} + x^n + c[/tex].
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Wentworth
Riemann
Riemann
Posts: 1521
Joined: 08/04-2007 15:47
Location: Oslo

Enig, og da får jeg:

[tex]w^5=1[/tex]

[tex](iz)^5=1[/tex]

[tex]iz^5=1[/tex]

Ganger med -i på begge sider og får:

[tex]z^5=-i[/tex]

Dermed er røttene til z^5=-i:
[tex]z_1=e^{i \frac{3 \pi}{10}} \: , \: z_2=e^{i \frac{7 \pi}{10}} \: , \: z_3=e^{i \frac{11 \pi}{10}} \: , \: z_4=e^{i \frac{3 \pi}{2}} \: ,\:z_5=e^{i \frac{19 \pi}{10}} \: [/tex]
Last edited by Wentworth on 30/12-2009 15:11, edited 3 times in total.
Karl_Erik
Guru
Guru
Posts: 1080
Joined: 22/10-2006 23:45

Det virker da veldig merkelig at du skal ha et fjerdegradspolynom med fem forskjellige røtter?
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Markonan
Euclid
Euclid
Posts: 2136
Joined: 24/11-2006 19:26
Location: Oslo

Jeg skjønner ikke hvordan du ender opp med w^5 = 1...
Hvordan gikk du frem for å få det?
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
espen180
Gauss
Gauss
Posts: 2578
Joined: 03/03-2008 15:07
Location: Trondheim

Han brukte nok Fredriks metode med sum av geometrisk rekke og gikk fra

[tex]\frac{w^5-1}{w-1}=0[/tex]

til

[tex]w^5=1\,,\,w\neq1[/tex]

Dermed er [tex]z_4[/tex] til Wentworth over ikke en løsning, som man kan se ved å sette [tex]z=-i[/tex] inn i det opprinnelige polynomet.
Markonan
Euclid
Euclid
Posts: 2136
Joined: 24/11-2006 19:26
Location: Oslo

¡Por supuesto! :idea:

8-)
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Wentworth
Riemann
Riemann
Posts: 1521
Joined: 08/04-2007 15:47
Location: Oslo

Husk nå at røttene jeg har oppgitt altså disse røttene :
[tex]z_1=e^{i \frac{3 \pi}{10}} \: , \: z_2=e^{i \frac{7 \pi}{10}} \: , \: z_3=e^{i \frac{11 \pi}{10}} \: , \: z_4=e^{i \frac{3 \pi}{2}} \: ,\:z_5=e^{i \frac{19 \pi}{10}} \: [/tex]

er røttene til [tex]\: z^5=-i \:[/tex].

Men vi har jo forutsatt å finne røttene til fjerdegradsligningen oppført i første innlegg i tråden.Dermed er det bare 4 røtter som er løsninger for denne 4.gradsligningen.Og da er det vel opplagt at siden z^5=-i , så er det denne løsningen z_4 som uteblir, for denne gir løsningen for z=-i ( som er en av løsningene til w^5=1 eller z^5=-i), men vi er ikke ute etter denne.Dermed er de andre 4 løsningene som også noen her har sjekka via wolframalpha, er de korekte. :D
Post Reply