Forhold mellom delmengder

[LGO]

Håper dere tåler at oppgaven er på engelsk. Det var slik vi fikk den, og jeg har ikke tatt meg tid til å oversette den. Et av fagene våre i høst har vært arbeidsmetoder i matematikken, og da har vi bl.a. jobbet en del med problemløsning. Dette er en av oppgavene som er litt finurlig, men det finnes (minst) en ganske enkel løsning.

Given four subsets A, B, C, D of a set. Half of the elements in A are also in B, half of the elements in B are also in C, half of the elements of C are also in D, and half of the elements in D are also in A. What is the biggest and smallest ratio of the number of elements in D to the number of elements in A?

[Charlatan]

Hvis vi lar størrelsene på settene være $A,B,C$ og $D$; er

$B=\frac{A}{2}+b,$ $C=\frac{B}{2}+c$

$D=\frac{C}{2}+d,$ $A=\frac{D}{2}+a$

for konstanter $a,b,c$ og $d$. Løser vi dette får vi at

$2-\frac{D}{A}=\frac{15a}{8a+(b+2c+4d)}$.
Men siden
$8a+(b+2c+4d)>\frac{15a}{2}$, må $8a+(b+2c+4d)=15a\Rightarrow \frac{D}{A}=1$.

Ble det riktig?

[LGO]

Beklager et veldig sent svar på denne. Ble en litt intens eksamensperiode, så var ikke så mye innom her da.

Det finnes tilfeller der A og D ikke er lik, så dermed blir ikke svaret ditt løsningen på oppgaven, siden de spør etter det største og minste forholdet mellom mengdene.

[olalia]

$\frac{|D|}{|A|}\le 2$
En kan lett finne et eksempel som oppfyller likhet.
B=A+b
C=A+c
D=A+d
$|A|=|b|=|c|=|d|$
Hvor disse fire mengdene er disjunkte.

For å finne minimum:
$|A|\le 2|B|\le 4|C|\le 8|D|$
En ser lett at likhet ikke kan gjelde overalt, ettersom D da må være en delmengde av A og ikke bare snitter halveis.
En ser at en for eksempel kan legge til $\frac{|A|}{8}$ elementer til D for å oppnå et forhold på 4, men dette er ikke det optimale.
En ser at det må finnes elementer som ikke er i A.
$q<p\iff qA\text{sub}pA,|qA|=q|A|$
$|X|=x,|A|=a$
Sett opp en oversikt over mengdene slik:
$B=\frac{A}{2}+X$
$C=A(\frac{1}{4}-\frac{x}{2a})+X$
$D=A(\frac{1}{8}-\frac{x}{4a}-\frac{x}{2a})+X$
Dette er lagt opp slik at B, C og D arver minst mulig fra A. Da ser en at det ikke er noe poeng i å legge til mengder Y og Z til C og D som med X, siden elementene bidrar mest om de får være med helt fra B.
Til slutt har en at $\frac{1}{8}-\frac{x}{4a}-\frac{x}{2a}=\frac{x}{a},x=\frac{a}{14},|D|=2x=\frac{a}{14},\frac{|D|}{|A|}=\frac{1}{7}$

[LGO]

Ser bra ut.